柄分解

数学中，m-流形M的柄分解（handle decomposition）是并

$${\displaystyle \emptyset =M_{-1}\subset M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \dots \subset M_{m-1}\subset M_{m}=M}$$ 其中${\displaystyle M_{i}}$都由${\displaystyle M_{i-1}}$附加一个i-柄（handle）而来。柄分解之于流形就像CW分解之于拓扑空间—在很多方面，柄分解的目的是得到一种适用于光滑流形情形的类CW复形的语言。因此，i-柄就是i-胞腔的光滑类似物。流形的柄分解是从莫尔斯理论自然产生的。并结构的修改与瑟夫理论密切相关。

附着了3个1-柄的3-球。

动机

考虑n-球的标准CW分解，其中有一个零胞腔与一个n-胞腔。从光滑流形的角度来看，这是球面的退化分解，因为没有自然方法从分解的角度来看${\displaystyle S^{n}}$的光滑结构—尤其是0-胞腔附近的光滑结构取决于特征映射${\displaystyle \chi :D^{n}\to S^{n}}$在${\displaystyle S^{n-1}\subset D^{n}}$的邻域中的行为。

CW分解的问题在于，胞腔的附着映射不属于流形间的光滑映射。管状邻域定理是纠正这一缺陷的萌芽。给定流形M中的点p，其闭管状邻域${\displaystyle N_{p}}$微分同胚于${\displaystyle D^{m}}$，因此我们将M分解为沿${\displaystyle N_{p}}$、${\displaystyle M\setminus \operatorname {int} (N_{p})}$的共同边界胶合的不交并。这里的关键问题是，胶合映射是微分同胚映射。同样，取${\displaystyle M\setminus \operatorname {int} (N_{p})}$中的光滑嵌入弧，其管状邻域微分同胚于${\displaystyle I\times D^{m-1}}$。这样就可以把M写成三个流形的并，沿它们一部分边界胶合：1) ${\displaystyle D^{m}}$ 2) ${\displaystyle I\times D^{m-1}}$ 3) ${\displaystyle M\setminus \operatorname {int} (N_{p})}$中弧的开管状邻域的补。注意所有胶合映射都是光滑的，特别是将${\displaystyle I\times D^{m-1}}$胶合至${\displaystyle D^{m}}$时，等价关系由${\displaystyle (\partial I)\times D^{m-1}}$在${\displaystyle \partial D^{m}}$中的嵌入生成，根据管状邻域定理它是光滑的。

柄分解是斯蒂芬·斯梅尔的发明。^[1]他的最初表述中，将j-柄附着到m-流形M的过程假定有${\displaystyle f:S^{j-1}\times D^{m-j}\to \partial M}$的光滑嵌入。令${\displaystyle H^{j}=D^{j}\times D^{m-j}}$，流形${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}}$（即M沿f并上一个j-柄）是指M与${\displaystyle H^{j}}$的不交并，${\displaystyle S^{j-1}\times D^{m-j}}$与其在${\displaystyle \partial M}$中的像相等，即 $${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{m-j})\right)/\sim }$$ 其中等价关系${\displaystyle \sim }$由${\displaystyle (p,x)\sim f(p,x)}$生成，${\displaystyle \forall (p,x)\in S^{j-1}\times D^{m-j}\subset D^{j}\times D^{m-j}}$。

若M的并具有有限多个j-柄，且微分同胚于流形N，则称N来自在M上附着j-柄。则柄分解的定义与概述中相同。于是，若流形微分同胚于球的不交并，则流形的柄分解将只有0-柄。连通流形只含有两种柄（即0-柄与j-柄，其中j为定值），也称作柄体。

术语

M并上j-柄${\displaystyle H^{j}}$时， $${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{m-j})\right)/\sim }$$

${\displaystyle f(S^{j-1}\times \{0\})\subset M}$称作被附着球面（attaching sphere）。

f有时也称作被附着球面的框架（framing），因为它将其法丛平凡化。

${\displaystyle \{0\}^{j}\times S^{m-j-1}\subset D^{j}\times D^{m-j}=H^{j}}$是柄${\displaystyle H^{j}}$在${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}}$中的带球（belt sphere）。

将g个k-柄附着到圆盘${\displaystyle D^{m}}$所得的流形是亏格为g的(m,k)-柄体。

配边演示

配边W的柄演示中有${\displaystyle \partial W=M_{0}\cup M_{1}}$，且有渐进并 $${\displaystyle W_{-1}\subset W_{0}\subset W_{1}\subset \cdots \subset W_{m+1}=W}$$ 其中M是m维的，W是m+1维的，${\displaystyle W_{-1}}$微分同胚于${\displaystyle M_{0}\times [0,1]}$，${\displaystyle W_{i}}$来自${\displaystyle W_{i-1}}$附着以i-柄。若说柄分解之于流形好比胞腔分解之于拓扑空间，择配边的柄演示之于有界流形就好比相关胞腔分解之于空间对。

莫尔斯理论观点

给定紧无界流形M上的莫尔斯函数${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$，使f的临界点${\displaystyle \{p_{1},\ldots ,p_{k}\}\subset M}$满足${\displaystyle f(p_{1})<f(p_{2})<\cdots <f(p_{k})}$，并有

$${\displaystyle t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k},}$$ 则${\displaystyle \forall j,\ f^{-1}[t_{j-1},t_{j}]}$微分同胚于${\displaystyle (f^{-1}(t_{j-1})\times [0,1])\cup H^{I(j)}}$，其中${\displaystyle I(j)}$是临界点${\displaystyle p_{j}}$的指标，是黑塞矩阵为负定的切空间${\displaystyle T_{p_{j}}M}$的最大子空间的维度。

令指标满足${\displaystyle I(1)\leq I(2)\leq \cdots \leq I(k)}$，则这是M的柄分解；由于流形上必有这样的莫尔斯函数，所以它们都有柄分解。相似地，给定配边W满足${\displaystyle \partial W=M_{0}\cup M_{1}}$、函数${\displaystyle f:W\to \mathbb {R} }$，其在内部是莫尔斯的，在边界为常数，且满足指标递增，则配边W有诱导柄演示。

若f是M上的莫尔斯函数，则-f也是莫尔斯函数。相应的柄分解/演示称作对偶分解。

主要定理与观察

• 闭有向3-流形的希加德分裂将3-流形分解为两(3,1)-柄体沿共同边界之并，公共边界称作希加德分裂面。3-流形的希加德分裂有好几种自然的产生方式：给定3-流形的柄分解，0、1-柄之交是(3,1)-柄体，3、2-柄的并也是(3,1)-柄体（从对偶分解的角度来看），于是是希加德分裂。若3-流形有三角化T，则有诱导希加德分裂，其中第一个(3,1)-柄体是1-骨架（skeleton）${\displaystyle T^{1}}$的正则邻域，其他(3,1)-柄体是对偶1-骨架的正则邻域。
• 相继附着两个柄${\displaystyle (M\cup _{f}H^{i})\cup _{g}H^{j}}$时，有可能切换附着的阶，使得${\displaystyle j\leq i}$，即此流形微分同胚于形式为${\displaystyle (M\cup H^{j})\cup H^{i}}$的流形。
• ${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}}$的边界与沿有框架球f的边界${\displaystyle \partial M}$是微分同胚。这是割补、柄与莫尔斯函数之间的主要联系。
• 因此，当且仅当可通过对${\displaystyle S^{m}}$中的有框架链接（framed link）集进行割补，得到m维流形M时，M是m+1维流形W的边界。举例，由从René Thom关于配边的研究，我们知道每个3-流形都是某4-流形的边界（相似地，有向、有旋的3-流形分别是有向、有旋的4-流形的边界）。于是，3-流形都可从3-球中有框架链接的割补得到。在有向情形，常规做法是将这种有框架链接简化为圆的不交并的有框架嵌入。
• h-配边定理通过简化光滑流形的柄分解证明。

另见

• 卡森柄
• 配边
• CW复形
• 柄体
• 卡比演算
• 流形分解

参考文献

注释

1. S. Smale, "On the structure of manifolds" Amer. J. Math. , 84 (1962) pp. 387–399

通用文献

• A. Kosinski, Differential Manifolds Vol 138 Pure and Applied Mathematics, Academic Press (1992).
• Robert Gompf and Andras Stipsicz, 4-Manifolds and Kirby Calculus, (1999) (Volume 20 in Graduate Studies in Mathematics), American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-0994-6