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几何拓扑中,柄体(handlebody)是将流形分解为标准小块的一种方法。柄体在高维流形的莫尔斯理论、配边理论和割补理论中发挥着重要作用。柄体尤其适用于研究3维流形。
n维有界流形,
(其中是n维球面,是n维球体)是嵌入,则称边界为
的n维流形来自
附加(attach)以r柄。 边界从由割补而来。作为平凡例子,附加0柄就是取球的不交并;给附加n柄是沿 的任意球面组分胶合进一个球。勒内·托姆和约翰·米尔诺用莫尔斯理论证明流形(无论有无边)都是柄体,即流形可表为柄的交。这个分解不是唯一的:柄体分解的操作是证明斯梅尔h配边定理及其推广到s配边定理的基本要素。
若流形是r柄的交(),则称流形是k柄体,不同于流形的维度。例如,4维2柄体是0柄、1柄与2柄的并。流形都是n柄体,即流形都是柄的交。不难看出,当且仅当流形具有非空的边界时,流形是(n-1)柄体。
流形的柄分解确定了流形的CW复形分解,因为附加一个r柄同伦等价于附加一个r胞腔。不过,柄分解提供的信息不仅是流形的同伦类:柄分解在同胚意义上完全描述了流形。怪球面都是0柄与n并的交。4维中,只要附加映射光滑,甚至还能描述光滑结构;但在更高维度则不能。
柄体可定义为有向有界3维流形,包含逐对不交、规范嵌入(properly embed)的2圆盘,使沿圆盘切下的流形形成3球。想象一下这个过程反过来,是如何得到柄体的(有时最后一个定义中的“有向”被去掉了,于是就得到了具有无向柄的更一般的柄体)。
柄体的亏格是其边界曲面的亏格。在同胚的意义上,非负整数亏格的柄体只有一个。
柄体在3维流形理论中的重要性来自于与希加德分裂的联系。几何群论中柄体的重要性来自于柄体的基本群自由这一事实。
较老的文献中,3维柄体有时被称作“有柄立方体”(cube with handles)。
令G维嵌入在n维欧氏空间的连通有限图。令V为欧氏空间中G的闭规范邻域,则V是n维柄体。图G称作V的“脊”(spine)。
0亏格柄体同胚于3球。1亏格柄体同胚于(其中是圆),称作实环面(solid torus)。其他柄体都可通过取实环面集合的边界连通和得来。
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