有序交換群

定義

有序交換群係指一對 ${\displaystyle (\Gamma ,>)}$，其中 ${\displaystyle \Gamma }$ 為交換群，${\displaystyle >}$ 為其上的一個二元關係，且滿足如下條件：

• 若 ${\displaystyle a<0}$，則 ${\displaystyle -a>0}$。
• 若 ${\displaystyle a,b>0}$，則 ${\displaystyle a+b>0}$。

另一種等價的描述是：給定一個子集 ${\displaystyle \Gamma _{+}\subset \Gamma }$，使得 ${\displaystyle \Gamma _{+}}$ 對加法封閉，且 ${\displaystyle \Gamma =\Gamma _{+}\cup \{0\}\cup -\Gamma _{+}}$。

若對於每個 ${\displaystyle x\in \Gamma }$ 都存在 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ 使得 ${\displaystyle n\cdot 1>x}$，則稱 ${\displaystyle (\Gamma ,>)}$ 滿足阿基米德性質。

範例與基本性質

• 由上述公理可推出：對於每個 ${\displaystyle x\in \Gamma ,x\neq 0}$ 都有 ${\displaystyle x^{2}>0}$。
• ${\displaystyle \mathbb {Z} ,\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{*}}$ 都是有序交換群且滿足阿基米德性質。
• 若 ${\displaystyle (\Gamma ,>_{1}),(\Gamma _{2},>_{2})}$ 為有序交換群，則 ${\displaystyle \Gamma _{1}\times \Gamma _{2}}$ 配合其字典序也構成一個有序交換群。
• ${\displaystyle (\Gamma ,>)}$ 滿足阿基米德性質的充要條件是它可以嵌入 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$。

參見

• 序理論
• 環