星形八面體

在幾何學中，星形八面體（英語：Stellated octahedron）是八面體中唯一的星形多面體，是一種二複合四面體，又稱為八角星體（英語：stella octangula、拉丁語為eight-pointed star，意為八角星^{[註 1]}），在1609時由约翰内斯·开普勒命名，然而他是位早期的幾何學家。事實上，早在1509年，卢卡·帕西奥利已經在其作品神曲中描繪了此種多面體^[2]。

星形八面體

類別	複合正多面體
對偶多面體	二複合正四面體
識別
名稱	星形八面體
參考索引	W19
數學表示法
考克斯特符號 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）	{4,3}[2{3,3}]{3,4}[1]
施萊夫利符號	{{3,3}} a{4,3} ß{2,4} ßr{2,2}
性質
體	2
面	8
邊	12
頂點	8
歐拉特徵數	F=8, E=12, V=8 （χ=4）
組成與佈局
複合幾何體數量	2
複合幾何體種類	2個正四面體
面的種類	8個正三角形
對稱性
對稱群	chiral octahedral (Oh)
旋轉對稱群 （英語：Rotation_groups）	chiral tetrahedral (Td)
圖像
星狀圖（英语：Stellation_diagram） 星狀（英语：Stellation）核 凸包 正八面体 正六面体
查 论 编

歷史

1509年，卢卡·帕西奥利首先描述了該複合體，並將其在作品神曲中描繪^[2]。1609年约翰内斯·开普勒將其命名。埃德蒙·赫斯在1876年將其與其他複合體一同描述、提出。1974年，馬格努斯·J·溫尼爾（英语：Magnus J. Wenninger）將星形八面體歸類在溫尼爾多面體模型中並給予編號W₁₉，並記錄於《多面體模型》中^[3]。

複合多面體

在幾何學中，星形八面體又被稱為二複合四面體，是一種凹多面體，屬於星形多面體，外觀看起來像兩个正四面體卡在一起。這可以被看作是多面體和星形多面體的複合體，由兩個正四面體構成，由於正四面體屬於自身對偶多面體，因此組合成的星形八面體的對偶多面體也是自己。

正八面體的星形僅有一種，即是上述由兩個正四面體構成的星形八面體。此外，此多面體也可以看做是一個三角化的八面體，但與卡塔蘭立體中的三角化八面體不同。

它可以由安排在對稱群為八面體旋轉對稱(O_h)的的幾何結構中。

結構

星形八面體可以用幾種方式構成：

• 這是一個關於正八面體的星形多面體，部分結構與正八面體共用。（見 溫尼爾模型W₁₉.）

立體圖

星狀平面

星狀圖是正八面體，以黃色星狀平面表示

• 也可以將兩個正四面體交錯卡在一起構成（一個正四面體和它的對偶四面體構成）
• 也可藉由正八面體透過Kleetope變換構成，即在正八面體的每個面上加入角錐。這種結構與卡塔蘭立體中的三角化八面體有著相同的拓樸結構。
• 它與是立方體的所有割面共用相同的頂點排佈。

立方體的所有三角形割面可構成星形八面體

立方體的其中一個三角形割面以紅色表示

文化

• 角色扮演游戏《Fate/Grand Order》中的圣晶石。
• VOCALOID 4声库“星尘”手上托着的小星星是星形八面体形状。
• 奇迹暖暖“云空之境”活动的羁绊之辰^[4]。

參見

• 星形多面體
• 正四面體 ： 此複合多面體的組成元素
• 五複合正四面體
• 十複合正四面體

注釋

1. 此處指的是立體的八角星，與一般稱的八角星不同，一般八角星是指平面的星形

參考文獻

1. Regular polytopes, pp.48-50, p.98
2. Barnes, John, Shapes and Solids, Gems of Geometry, Springer: 25–56, 2009, ISBN 978-3-642-05091-6, doi:10.1007/978-3-642-05092-3_2.
3. Wenninger, Magnus（英语：Magnus J. Wenninger）. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.
4. 《奇迹暖暖》云空之境活动规则详解 活动玩法技巧分享. [2019-01-25]. （原始内容存档于2020-03-16）.

• Coxeter, HSM, Regular Polytopes, 3rd Edn., Dover 1973.
• Coxeter, Harold Scott MacDonald; Du Val, P.; Flather, H. T.; Petrie, J. F. The Fifty-Nine Icosahedra 3rd. Tarquin. 1999. ISBN 978-1-899618-32-3. MR 0676126. (1st Edn University of Toronto (1938))
• 埃里克·韦斯坦因. Tetrahedron 5-Compound. MathWorld.
• Metal Sculpture of Five Tetrahedra Compound （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• VRML model: [1]
• Compounds of 5 and 10 Tetrahedra （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Sándor Kabai, The Wolfram Demonstrations Project.

延伸閱讀

• Wenninger, Magnus. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.

外部連結

• 埃里克·韦斯坦因. Stella Octangula. MathWorld.
• 埃里克·韦斯坦因. Compound of two tetrahedra. MathWorld.
• Klitzing, Richard. 3D compound. bendwavy.org.