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在拓扑学中,拓扑空间X內的两点若有完全相同的鄰域,便稱這兩個點為「拓扑不可区分的」。亦即,設x及y為X內的兩點,A為由所有包含x的鄰域所組成的集合,且B為由所有包含y的鄰域所組成的集合,則x及y為「拓撲不可區分的」若且唯若A = B。
直觀上來說,若X的拓撲無法分辨之中的兩點,即可稱這兩點為拓撲不可區分的。
若X內的兩點不是拓撲不可區分的,則稱這兩點為「拓撲可區分的」。这表示存在只包含两点之中的其中一點的开集(或等价地说,存在只包含两点之中的其中一點的闭集),而这个开集則可以用来使两个点可以區分。T0空间是一個拓撲空間,其中任意兩個相區別的點都是拓扑可区分的。这是分离公理中最弱的一個限制條件。
拓扑不可区分性會在拓扑空间X上定义出一個等价关系。設x和y為X內的兩個点,若x和y為拓撲不可區分的,便標記成x ≡ y;x的等價類則標記為[x]。
对T0空间(特别是豪斯多夫空间)而言,拓扑不可区分的概念是沒有意義的,因此若要尋找有趣的例子,必须要在非T0空间中才行。另一方面,由於正则性和正规性並不蕴涵T0,所以可以找到一些有這些性质的例子。事实上,下面给出的例子就几乎都是完全正则的。
在空间X上的拓扑不可区分性可以从在X上的叫做特殊化预序的自然预序来复原。对于X中的点x和y这个预序定义为
这里的cl{y}指示{y}的闭包。等价的说,x ≤ y如果x的邻域系统,指示为Nx,被包含在y的邻域系统内:
拓扑空间被称为对称(或R0)的,如果特殊化预序是对称的(就是说x ≤ y蕴涵y ≤ x)。在这种情况下,关系≤和≡是同一的。拓扑不可区分性在这些空间中表现良好并易于理解。注意这类空间包括所有正则空间和完全正则空间。
有很多确定两个点是拓扑不可区分的等价方式。设X是拓扑空间并设x和y是X的点。把x和y的闭包分别指示为cl{x}和cl{y},并把它们的邻域系统分别指示为Nx和Ny。则下列陈述是等价的:
这些条件可以在X是对称空间的情况下简化。对于这些空间(特别是正则空间),下列陈述是等价的:
要讨论x的等价类,為了方便,首先定义x的上闭集合和下闭集合。它们都是关于上述特殊化预序而定义的。
x的下部集合就是{x}的闭包:
x的等价类接着给出为交集
因为↓x是包含x的所有闭集的交集而↑x是包含x的所有开集的交集,等价类[x]是包含x的所有开集和闭集的交集。
cl{x}和∩Nx二者都包含等价类[x]。一般的说,两个集合都会包含额外的点。但是在对称空间中(特别是在正则空间中),这三个集合是一致的:
设f : X → Y是连续函数。则对于任何X中的x和y有
因为拓扑不可分别性是在任何拓扑空间X上的等价关系,我们可以形成商空间KX = X/≡。空间KX被叫做柯爾莫哥洛夫商空間或X的T0同一。事实上,空间KX是T0(就是说所有点都是拓扑可区分的)。此外,通过商映射的特征性质,任何从X到T0空间的连续映射f : X → Y通过商映射q : X → KX而因子化。
尽管商映射q一般不是同胚(因为它一般不是单射),它确实引发在X的拓扑和KX的拓扑之间的双射。直觉上说,柯尔莫果洛夫商不改变一个空间的拓扑。它只將点集精簡化,直到点都成为拓扑可区分的。
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