局部可积函数

在数学中，局部可积函数是指在定义域内的所有紧集上都可积的函数。

常见定义

设${\displaystyle \Omega }$为欧几里得空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中的一个开集。设${\displaystyle \scriptstyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$是一个勒贝格可测函数。如果函数${\displaystyle f}$在任意紧集${\displaystyle K\subset \Omega }$上的勒贝格积分都存在：

${\displaystyle \int _{K}|f|\mathrm {d} x<+\infty \,}$

那么就称函数${\displaystyle f}$为一个${\displaystyle \Omega }$-局部可积的函数^[1]。所有在${\displaystyle \Omega }$上局部可积的函数的集合一般记为${\displaystyle \scriptstyle L_{loc}^{1}(\Omega )}$：

${\displaystyle L_{loc}^{1}(\Omega )=\left\{f:\Omega \to \mathbb {C} ,\right.}$可测${\displaystyle \left.\left|\ f\in L^{1}(K),\ \forall K\in {{\mathcal {P}}_{0}(\Omega )}\right.\right\}}$

其中${\displaystyle \scriptstyle {{\mathcal {P}}_{0}(\Omega )}}$指${\displaystyle \Omega }$包含的所有的紧集的集合。

一般测度空间

对于更一般的测度空间${\displaystyle (X,d\mu )}$，也可以类似地定义其上的局部可积函数^[2]。

性质

• 所有${\displaystyle \Omega }$上的连续函数与可积函数都是${\displaystyle \Omega }$-局部可积的函数。如果${\displaystyle \Omega }$是有界的，那么${\displaystyle \Omega }$上的L²函数也是${\displaystyle \Omega }$-局部可积的函数^[3]。
• 局部可积函数都是几乎处处有界的函数${\displaystyle (X,d\mu )}$，也可以类似地定义其上的局部可积函数^[4]。
• 复数值的函数${\displaystyle f}$是局部可积函数，当且仅当其实部函数 ${\displaystyle Re(f):x\to Re\left(f(x)\right)}$与虚部函数 ${\displaystyle Im(f):x\to Im\left(f(x)\right)}$都是局部可积函数。实数值的函数${\displaystyle f}$是局部可积函数，当且仅当其正部函数 ${\displaystyle f_{+}:x\to \left(f(x)\right)_{+}}$与负部函数 ${\displaystyle f_{-}:x\to \left(f(x)\right)_{-}}$都是局部可积函数^[4]。

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