局部可积函数

在数学中，局部可积函数是指在定义域内的所有紧集上都可积的函数。

常见定义

设${\displaystyle \Omega }$为欧几里得空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中的一个开集。设${\displaystyle \scriptstyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$是一个勒贝格可测函数。如果函数${\displaystyle f}$在任意紧集${\displaystyle K\subset \Omega }$上的勒贝格积分都存在：

${\displaystyle \int _{K}|f|\mathrm {d} x<+\infty \,}$

那么就称函数${\displaystyle f}$为一个${\displaystyle \Omega }$-局部可积的函数^[1]。所有在${\displaystyle \Omega }$上局部可积的函数的集合一般记为${\displaystyle \scriptstyle L_{loc}^{1}(\Omega )}$：

${\displaystyle L_{loc}^{1}(\Omega )=\left\{f:\Omega \to \mathbb {C} ,\right.}$可测${\displaystyle \left.\left|\ f\in L^{1}(K),\ \forall K\in {{\mathcal {P}}_{0}(\Omega )}\right.\right\}}$

其中${\displaystyle \scriptstyle {{\mathcal {P}}_{0}(\Omega )}}$指${\displaystyle \Omega }$包含的所有的紧集的集合。

一般测度空间

对于更一般的测度空间${\displaystyle (X,d\mu )}$，也可以类似地定义其上的局部可积函数^[2]。

性质

• 所有${\displaystyle \Omega }$上的连续函数与可积函数都是${\displaystyle \Omega }$-局部可积的函数。如果${\displaystyle \Omega }$是有界的，那么${\displaystyle \Omega }$上的L²函数也是${\displaystyle \Omega }$-局部可积的函数^[3]。
• 局部可积函数都是几乎处处有界的函数${\displaystyle (X,d\mu )}$，也可以类似地定义其上的局部可积函数^[4]。
• 复数值的函数${\displaystyle f}$是局部可积函数，当且仅当其实部函数 ${\displaystyle Re(f):x\to Re\left(f(x)\right)}$与虚部函数 ${\displaystyle Im(f):x\to Im\left(f(x)\right)}$都是局部可积函数。实数值的函数${\displaystyle f}$是局部可积函数，当且仅当其正部函数 ${\displaystyle f_{+}:x\to \left(f(x)\right)_{+}}$与负部函数 ${\displaystyle f_{-}:x\to \left(f(x)\right)_{-}}$都是局部可积函数^[4]。

相关条目

• 广义函数
• 测试函数

参考来源

1. Francis Hirsch, Gilles Lacombe. Elements of functional analysis. Springer. 1999年. ISBN 978-0387985244 （英语）.第268页
2. Jean Alexandre Dieudonné. Treatise on Analysis第2卷. Academic Press. 1976年 （英语）.第181页
3. John Michael Rassias. Functional analysis, approximation theory, and numerical analysis. World Scientific Publishing Co., Inc. 1994年6月. ISBN 978-981-02-0737-3 （英语）.第25页
4. Jean Alexandre Dieudonné. Treatise on Analysis第2卷. Academic Press. 1976 （英语）.第180页