環的局部化

在抽象代數中，局部化是一種在環中形式地添加某些元素的倒數，藉以建構分式的技術；由此可透過張量積構造模的局部化。範疇的局部化過程類似，但此時加入的是態射之逆元素，以使得這些態射在局部化以後變為同構。

局部化在環論與代數幾何中佔有根本地位，範疇的局部化則引出導範疇的概念，在高等數學中有眾多應用。

幾何詮釋

「局部化」一詞源出代數幾何。設 ${\displaystyle R}$ 是一個仿射代數簇 ${\displaystyle X}$ 的座標環（也就是 ${\displaystyle X}$ 上的多項式函數），則 ${\displaystyle R}$ 對其元素 ${\displaystyle f}$ 的局部化的意義是將 ${\displaystyle V(f):=\{x\in X:f(x)=0\}}$ 從 ${\displaystyle X}$ 中挖掉，得到的環 ${\displaystyle R_{f}}$ 正是 ${\displaystyle X-V(f)}$ 的座標環；若對極大理想 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}:=\{f\in R:f(x)=0\}}$ 作局部化，則可以設想為挖去所有的 ${\displaystyle V(f)\quad (f(x)\neq 0)}$；得到的環 ${\displaystyle R_{{\mathfrak {m}}_{x}}}$ 體現 ${\displaystyle X}$ 上的多項式函數在 ${\displaystyle x}$ 點的局部性質。

藉著將模理解為仿射代數簇上的擬凝聚層，可以類似地詮釋模的局部化；它無非是擬凝聚層在一個點的莖。

環的局部化

在此僅考慮含單位元的環。設 ${\displaystyle R}$ 為環，${\displaystyle S}$ 為 ${\displaystyle R}$的積性子集（定義：對乘法封閉，並包含單位元素的集合）。以下將探討 ${\displaystyle R}$ 對 ${\displaystyle S}$ 之局部化。

泛性質

${\displaystyle R}$ 對 ${\displaystyle S}$ 的局部化如果存在，是一個環 ${\displaystyle S^{-1}R}$（或記作 ${\displaystyle R[S^{-1}]}$）配上環同態 ${\displaystyle R\rightarrow S^{-1}R}$，使之滿足以下的泛性質：

對任何環 ${\displaystyle T}$ 及環同態 ${\displaystyle \phi :R\rightarrow T}$，若 ${\displaystyle S}$ 的元素在 ${\displaystyle \phi }$ 下的像皆可逆，則存在唯一的環同態 ${\displaystyle \psi :S^{-1}R\rightarrow T}$，使得 ${\displaystyle \phi }$ 是 ${\displaystyle R\rightarrow S^{-1}R}$ 與 ${\displaystyle \psi }$ 的合成。

此性質可保證局部化 ${\displaystyle (S^{-1}R,R\rightarrow S^{-1}R)}$ 的唯一性。

交換環的情形

當交換環 ${\displaystyle R}$ 為整環時，局部化的構造相當容易。若 ${\displaystyle 0\in S}$，則 ${\displaystyle S^{-1}R}$ 必然是零環；若不然，我們可以在 ${\displaystyle R}$ 的分式環 ${\displaystyle K}$ 中構造局部化：取 ${\displaystyle S^{-1}R\subset K}$ 為形如 ${\displaystyle {\frac {r}{s}}\quad (r\in R,s\in S)}$ 的元素即可。

對於一般的交換環，我們必須推廣分式環的構造；在此須注意到：由於 ${\displaystyle S}$ 中可能有零因子，我們不能魯莽地通分一個分式。構造方式如下：

在集合 ${\displaystyle R\times S}$ 上定義下述等價關係 ${\displaystyle \sim }$：

${\displaystyle (r,s)\sim (r',s')\iff }$ 存在 ${\displaystyle t\in S}$ 使得 ${\displaystyle t(rs'-r's)=0}$

等價類 ${\displaystyle [r,s]}$ 可以想成「分式」 ${\displaystyle r/s}$，藉此類比，在商集 ${\displaystyle (R\times S)/\sim }$ 上定義加法與乘法為：

${\displaystyle [r,s]+[r',s']=[rs'+r's,ss']}$

${\displaystyle [r,s][r',s']=[rr',ss']}$

可驗證上述運算是明確定義的。此外還有環同態 ${\displaystyle R\rightarrow (R\times S)/\sim }$，定義為 ${\displaystyle r\mapsto [r,1]}$。於是可定義 ${\displaystyle S^{-1}R:=(R\times S)/\sim }$，再 配上上述環運算與同態。在實踐上，我們常逕將 ${\displaystyle S^{-1}R}$ 裡的元素寫作分式 ${\displaystyle r/s}$。

交換代數與代數幾何中經常考慮兩種局部化：

• 固定 ${\displaystyle f\in R}$，取 ${\displaystyle S:=\{f^{n}:n\geq 0\}}$。在交換環譜中，對這類 ${\displaystyle S}$ 的局部化構成 ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$ 的基本開集（${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$ 表 ${\displaystyle R}$ 的所有素理想構成的集合）。這種局部化常記作 ${\displaystyle R_{f}}$。
• 固定素理想 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset R}$，取 ${\displaystyle S:=R-{\mathfrak {p}}}$，此時也稱作對素理想 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ 的局部化。這種局部化常記作 ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$。

以下是 ${\displaystyle S^{-1}R}$ 的一些環論性質。

• ${\displaystyle S^{-1}R=(0)}$ 若且唯若 ${\displaystyle 0\in S}$。
• 環同態 ${\displaystyle R\rightarrow S^{-1}R}$ 是單射，若且唯若 ${\displaystyle S}$ 中不含零因子。
• 同態 ${\displaystyle R\rightarrow S^{-1}R}$ 下的逆像給出下列一一對應：

${\displaystyle \mathrm {Spec} (S^{-1}R)=\{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} (R):{\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset \}}$

一個重要的特例是取 ${\displaystyle S=R-{\mathfrak {p}}}$，可知 ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ 中的素理想一一對應至 ${\displaystyle R}$ 中包含於 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ 的素理想，因此 ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ 是局部環。

非交換環的情形

非交換環的局部化較困難，並非對所有積性子集 ${\displaystyle S}$ 都有局部化。充分條件之一是歐爾條件，請參閱條目歐爾定理。

其應用之一是用於微分算子環。例如它可以解釋作為一個微分算子 ${\displaystyle D}$ 抽象地添加逆算子 ${\displaystyle D^{-1}}$；微局部分析中運用了這類構造。

模的局部化

設 ${\displaystyle R}$ 為含單位元的交換環，${\displaystyle S}$ 是積性子集，而 ${\displaystyle M}$ 是個 ${\displaystyle R}$-模。模的局部化與交換環類似，寫作 ${\displaystyle S^{-1}M}$ 或 ${\displaystyle M[S^{-1}]}$。我們依然要求存在模同態 ${\displaystyle M\rightarrow S^{-1}M}$ 及以下的泛性質（此泛性質蘊含唯一性）：

對任何 ${\displaystyle S^{-1}R}$-模 ${\displaystyle N}$ 及 ${\displaystyle R}$-模同態 ${\displaystyle \phi :M\rightarrow N}$，存在唯一的 ${\displaystyle S^{-1}R}$-模同態 ${\displaystyle \psi :S^{-1}M\rightarrow N}$，使得 ${\displaystyle \phi }$ 是 ${\displaystyle M\rightarrow S^{-1}M}$ 與 ${\displaystyle \psi }$ 的合成。

事實上，可以用張量積構造模的局部化：

${\displaystyle S^{-1}M:=M\otimes _{R}S^{-1}R}$

這是一個正合函子，它將單射映為單射。亦即：${\displaystyle S^{-1}R}$ 是平坦的 ${\displaystyle R}$-模。利用張量積與環的局部化的泛性質，可以形式地導出上述構造確實滿足局部化的要求。

此外，也可以仿造交換環的局部化，用分式 ${\displaystyle \{m/s:m\in M,s\in S\}}$ 直接構造 ${\displaystyle S^{-1}M}$，分式間的等價與代數運算類似交換環的情形。

範疇的局部化

範疇的局部化的意義在將一族態射之逆態射加入範疇中，使得這些態射成為同構。這在形式上近於環的局部化，也能使先前不同構的對象在局部化後變為同構。例如，在同倫理論中有許多連續映射在同倫的意義下可逆，藉著將這些映射局部化，同倫等價的空間可被視為彼此同構。局部化範疇裡的操作也稱作分式運算，相關技術細節請見文獻中 Gabriel-Zisman 或 Weibel 的著作。

一些例子

1. 塞爾提議在模掉某類阿貝爾群 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 的同倫範疇裡操作，這意謂若群 ${\displaystyle A,B}$ 滿足 ${\displaystyle A/B\in {\mathcal {C}}}$，則視之為同構的。稍後 Dennis Sullivan 引進一個大膽的想法：改在空間的局部化裡操作。如此將影響底層的拓撲空間。
2. 設 ${\displaystyle R}$ 的克鲁尔维数至少是 2，此時若兩個 ${\displaystyle R}$-模 ${\displaystyle M\supset N}$ 滿足 ${\displaystyle M/N}$ 的支撐集的餘維至少是 2，則可視之為偽同構的。岩澤理論大大利用了這個想法。
3. 在同調代數中，我們藉著加入擬同構之逆而得到導範疇。
4. 在阿貝爾簇的理論中，我們常等同兩個同源的阿貝爾簇，並將同源映射視為同構。此「至多差一個同源」的範疇是局部化較簡單的例子，實質上不外是將 ${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,Y)}$ 代以 ${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,Y)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$。

集合論的問題

一般而言，給定一個範疇 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 及一族態射 ${\displaystyle w}$，在探討是否能構造局部化 ${\displaystyle w^{-1}{\mathcal {C}}}$ 時會遇到以下問題：當 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 是小範疇或 ${\displaystyle w}$ 是集合時已知可構造局部化，但一般來說則是個棘手的集合論問題；局部化的典型構造可能會造成兩對象間的態射「太多」，換言之可能是個真類。發展模型範疇的動機之一正是要避免這類問題。

文獻

• P. Gabriel and M. Zisman. Calculus of fractions and homotopy theory. Springer-Verlag New York, Inc., New York, 1967. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 35.
• Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X
• Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra (1994), Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1