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在泛函分析中,哈恩-巴拿赫定理是一个极为重要的工具。它允许了定义在某个向量空间上的有界线性算子扩张到整个空间,并说明了存在“足够”的连续线性泛函,定义在每一个賦範向量空間,使对偶空间的研究变得有趣味。这个定理以汉斯·哈恩和斯特凡·巴拿赫命名,他们在1920年代後期独立证明了这个定理。
定理的最一般的表述需要一些准备。给定标量體(实数域或复数域)上的一个向量空间,一个函数称为次线性的,如果:
可以很容易证明,上的每一个范数和每一个半范数都是次线性的。其它的次线性函数也可以是很有用的。
哈恩-巴拿赫定理说明,如果是一个次线性函数,是的子空间上的一个线性泛函,满足:
那么存在φ到整个空间的一个线性扩张,也就是说,存在一个线性泛函ψ,使得:
以及:
扩张ψ一般不是由φ唯一指定的,定理的证明也没有给出任何求出ψ的方法:在无穷维空间的情形中,它依赖于佐恩引理——选择公理的一个表述。
我们可以把的次线性条件稍微减弱,只需要:
根据(Reed and Simon, 1980)。这揭示了哈恩-巴拿赫定理与凸性的密切联系。
这个定理有一些重要的结果,其中有些也有时称为“哈恩-巴拿赫定理”:
哈恩-巴拿赫定理的另外一种形式,称为哈恩-巴拿赫分离定理。[1][2]它在凸几何中有许多用途。[3]
定理:设为 或上的一个拓扑向量空间,和 是 的非空凸子集。假设。那么:
前面已经提到,从选择公理可以推出哈恩-巴拿赫定理。然而,反过来不成立。注意超滤子引理比选择公理更弱,但从它也可以推出哈恩-巴拿赫定理(反过来则不行)。实际上,哈恩-巴拿赫定理还可以用比超滤子引理更弱的假设来证明。[4]对于可分巴拿赫空间,Brown和Simpson证明了哈恩-巴拿赫定理可以从WKL0——一个二阶算术的弱子系统推出。[5]
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