吸引子

吸引子（Attractor）是微积分和系统科学论中的一个概念。一个系统有朝某个稳态发展的趋势，这个稳态就叫做吸引子。

吸引子分为平庸吸引子和奇异吸引子（Strange Attractor）。例如一个钟摆系统，它有一个平庸吸引子，这个吸引子使钟摆系统向停止晃动的稳态发展。平庸吸引子有不动点（平衡）、极限环（周期运动）和整数维环面（概周期运动）三种模式。而不属于平庸的吸引子的都称为奇异吸引子，它表现了混沌系统中非周期性，无序的系统状态，例如天气系统。

对于吸引子，学术上并没有完善的定义，目前仅处于概念阶段。吸引子中的奇异吸引子对于混沌系统的研究意义重大。

定義

設${\displaystyle t}$代表時間、${\displaystyle f(t,\cdot )}$是用來確定動態系統狀態的函數。也就是說，如果${\displaystyle a}$是${\displaystyle n}$維相空間的一個點，代表系統的初始狀態，則${\displaystyle f(0,a)=a}$且對每個正實數${\displaystyle t}$有${\displaystyle f(t,a)}$代表經過${\displaystyle t}$單位時間後的狀態。舉例來說，如果一系統描述一維上某不受力粒子的演進，此時相空間是平面${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$，其坐標${\displaystyle (x,v)}$中的${\displaystyle x}$是粒子的位置，${\displaystyle v}$是粒子的速度。那麼就有

${\displaystyle f(t,(x,v))=(x+tv,v).\ }$

而吸子是相空間中的子集${\displaystyle A}$，並有以下幾個特徵：

• ${\displaystyle A}$在${\displaystyle f}$下不隨時間變化，從而如果${\displaystyle a\in A}$就有${\displaystyle f(t,a)\in A}$對所有正實數${\displaystyle t}$。
• 存在${\displaystyle A}$的鄰域${\displaystyle B(A)}$（英文是basin of attraction），使得該域中任何點在時間趨於無限時都會趨近${\displaystyle A}$，或者更精準的是滿足以下敘述：

對任何${\displaystyle A}$的鄰域${\displaystyle N}$和${\displaystyle b\in B(A)}$，存在正實數${\displaystyle T}$使得${\displaystyle f(t,b)\in N}$對所有${\displaystyle t>T}$。

• 不存在${\displaystyle A}$的非空子集可以取代${\displaystyle A}$滿足前面兩點性質。

吸子還有許多其它種的定義，例如有些作者要求吸子有正的測度（以避免吸子中只有一個點），但其他作者只要求${\displaystyle B(A)}$是鄰域^[1]。

種類

吸子是動態系統中相空間的子集。在西元1960年代前，吸子仍被認為有「簡單的」幾何形狀，例如點、直線、平面等。但吸子的形狀事實上可能相當複雜， 斯梅爾證明其馬蹄映射的吸子有康托尔集的結構。

兩種簡單的吸子是不動點和極限環。也有的吸子無法使用基本的幾何物件的組合來描述，那麼他就被稱作奇異吸子。

不動點

有限個點

極限環

主条目：極限環

極限環面

奇異吸子

勞侖次奇異吸子的圖，其中用到參數ρ=28, σ = 10, β = 8/3。

一個吸子被稱為奇異（strange）如果他具有碎形結構^[2]，這常常出現在動態系統是混亂的時，但奇異非混亂吸子也是存在的。

若一奇異吸子是混沌的，則其對初始條件敏感。也就是任意兩個極為接近的初始點，在一定數量的疊代運算後，兩者可以相距甚遠；也可以再經過一定數量的疊代運算後又變得極為靠近。也因此，一個具有混沌吸子的動態系統在局域是不穩定的，然而廣域來看卻可以是穩定的，因為這些動態點再怎麼彼此分離，也都不會離開吸子。

奇異吸子這個詞最早是由呂埃勒與Floris Takens（英语：Floris Takens）所命名，用以描述流體系統經一連串分岔所產生的吸子結果。^[3]

奇異吸子在一些方向上常是可微的，但一些例子則如同康托塵則不可微。奇異吸子亦可出現在有雜訊的場合。^[4]

奇異吸子的例子包括多卷波混沌吸引子、艾儂吸子、熱斯勒吸子，以及勞侖次吸子。

參考資料

1. Milnor, J. (1985). "On the Concept of Attractor." Comm. Math. Phys 99: 177–195.
2. Boeing, G. Visual Analysis of Nonlinear Dynamical Systems: Chaos, Fractals, Self-Similarity and the Limits of Prediction. Systems. 2016, 4 (4): 37 [2016-12-02]. arXiv:1608.04416 . doi:10.3390/systems4040037. （原始内容存档于2016-12-03）.
3. Ruelle, David; Takens, Floris. On the nature of turbulence. Communications in Mathematical Physics. 1971, 20 (3): 167–192 [2019-07-22]. doi:10.1007/bf01646553. （原始内容存档于2015-06-23）.
4. Chekroun M. D., Simonnet E., and Ghil M. Stochastic climate dynamics: Random attractors and time-dependent invariant measures. Physica D. 2011, 240 (21): 1685–1700. doi:10.1016/j.physd.2011.06.005.