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在拓扑学和有关的数学分支中,分离集合是给定拓扑空间中以特定方式相互关联的一对子集,粗略的說,既不重疊也不接觸。两个集合是否分离对于连通空间和拓扑空间的分离公理的概念都很重要。
有各种方式來認定拓扑空间 X 的两个子集是分離的。
分离公理是施加到拓扑空间上的各种条件,可依据上述各种类型的分离方式來描述。作为例子,我们定义 T2 公理,它是施加在分离空间上的条件。更明確地說,一个拓扑空间是分离空間,如果给定任何两个不同的点 x 和 y,值得单元素集合 {x} 和 {y} 是由邻域分离的。
分离空间也叫做“豪斯多夫空间”或“T2 空间”。分离空间的进一步讨论可以在豪斯多夫空间中找到。各种分离公理的讨论见于分离公理。
给定一个拓扑空间 X,有时考虑子集 A 是否與它的补集分離是有用的。如果 A 要么为空集要么为整个空间 X,這當然為真,但是还有其他可能。如果拓扑空间 X 只有这两种可能性,則 X 是连通的。 反过来说,如果非空子集 A 是分离于它自己的补集,并且如果 A 的子集中,只有空集也有这个性质的,则 A 是 X 的「开连通单元」。(在 X 自身只有空集 {} 的退化情况下,作者们对 {} 是否为连通的和 {} 是否是自身的开连通单元是有分歧的)。
详情请参见连通空间。
给定拓扑空间 X,两个点 x 和 y 是“拓扑可区分”的,如果存在一个开集,其中一点属于它而另一个点不属于它。如果 x 和 y 是拓扑可区分的,则单元素集合 {x} 和 {y} 必定是不相交的。在另一方面,如果单元素集合 {x} 和 {y} 是分离的,则点 x 和 y 必定是拓扑可区分的。因为对于单元素集合,拓扑可区分性是在不相交性和可分离性之间的条件。
关于拓扑可区分点的详情请参见拓扑可区分性。
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