亥姆霍兹方程

動機和用途

亥姆霍茲方程通常出現在涉及同時存在空間和時間依賴的偏微分方程的物理問題的研究中，例如波動方程或薛定諤方程。

考慮波動方程：

\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}\right)u(\mathbf {r} ,t)=0.

假定 $u(\mathbf {r} ,t)$ 可分離變量，可得：

u(\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )T(t).

將此形式代入波動方程，化簡得到下列方程：

{\nabla ^{2}A \over A}={1 \over c^{2}T}{d^{2}T \over dt^{2}}.

注意左邊的表達式只取決於 r，而右邊的表達式只取決於 t。其結果是，若且唯若等式兩邊都等於恆定值時，該方程在一般情況下成立。從這一觀察中，可以得到兩個方程：

{\begin{array}{lcl}{\nabla ^{2}A \over A}&=-k^{2}\\{1 \over c^{2}T}{d^{2}T \over dt^{2}}&=-k^{2}\end{array}}

在不失一般性的情況下，選擇 −k² 這個表達式作為這個常值。（使用任何常數 k 作為分離常數都同樣有效；選擇 −k² 只是為了求解方便。）

調整第一個方程，可以得到亥姆霍茲方程：

\nabla ^{2}A+k^{2}A=(\nabla ^{2}+k^{2})A=0.

同樣，在用 ${\textstyle \omega {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}kc}$ 進行代換之後，第二個方程成為

{\frac {d^{2}{T}}{d{t}^{2}}}+\omega ^{2}T=\left({d^{2} \over dt^{2}}+\omega ^{2}\right)T=0,

其中 k 是波數，ω 是角頻率。注意到現在有了空間變量 ${\boldsymbol {x}}$ 的亥姆霍茲方程和一個二階時間常微分方程。時間解是一個正弦和餘弦函數的線性組合，而空間解的形式依賴於具體問題的邊界條件。經常可以使用拉普拉斯變換或者傅立葉變換這樣的積分變換將雙曲的偏微分方程轉化為亥姆霍茲方程的形式。

因為它和波動方程的關係，亥姆霍茲方程在物理學中電磁輻射、地震學和聲學等相關研究領域裏有着廣泛應用。

分離變量法求解

一維亥姆霍茲方程

$\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} r^{2}}}+k^{2}\right]\psi =0$

假設 $e^{ar}$ 為方程的解，代入上式可得特徵方程：

$a^{2}+k^{2}=0$

解得 $a=\pm ik$ ，則方程的通解為：

$\psi (r)=C_{1}e^{-ikr}+C_{2}e^{ikr}$

三維亥姆霍茲方程

球坐標中的拉普拉斯算子可以表示為：

$\nabla ^{2}=\nabla _{r}^{2}+{\frac {\nabla _{\Omega }^{2}}{r^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial u}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \phi ^{2}}},$

則可以得到：

$(r^{2}\nabla _{r}^{2}+k^{2}r^{2}-\nabla _{\Omega }^{2})\psi =0.$

令 $\psi (\mathbf {r} )=R(r)Y({\hat {\mathbf {r} }})$ ，則分離後的角向方程和徑向方程分別為：

${\begin{array}{lcl}\nabla _{\Omega }^{2}Y({\hat {\mathbf {r} }})=-l(l+1)Y({\hat {\mathbf {r} }}),\\\left[r^{2}\nabla _{r}^{2}+k^{2}r^{2}-l(l+1)\right]R(r)=0.\end{array}}$