方根

在数学中，一數 $b$ 為数 $a$ 的 $n$ 次方根，則 $b^{n}=a$ 。在提及实数 $a$ 的 $n$ 次方根的时候，若指的是此数的主 $n$ 次方根，則可以用根号（ ${\sqrt {\color {white}t}}$ ）表示成 ${\sqrt[{n}]{a}}$ 。例如：1024的主10次方根为2，就可以记作 ${\sqrt[{10}]{1024}}=2$ 。當 $n=2$ 時，則 $n$ 可以省略。定义实数 $a$ 的主 $n$ 次方根为 $a$ 的 $n$ 次方根，且具有与 $a$ 相同的正负号的唯一实数 $b$ 。在 $n$ 是偶数時，负数没有主 $n$ 次方根。习惯上，将2次方根叫做平方根，将3次方根叫做立方根。

方根也是幂的分数指数，即數 $b$ 為数 $a$ 的 ${\frac {1}{n}}$ 次方：

b={\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}

最早的根号“√”源于字母「r」的变形（出自拉丁语latus的首字母，表示“边长”），没有线括号（即被开方数上的横线），后来数学家笛卡尔给其加上线括号，但与前面的方根符号是分开的，因此在复杂的式子显得很乱。直至18世纪中叶，数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根（当根指数为2时，省略不写。）。形成了现在所熟悉的开方运算符号 ${\sqrt {\color {white}x}}$ 。

考慮在计算机中的输入问题，有时也可以使用sqrt(a,b)来表示a的b次方根。

带有根号的运算可由如下公式推導而得:

{\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\qquad a\geq 0,b\geq 0

{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\qquad a\geq 0,b>0

{\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}=\left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{m}=a^{\frac {m}{n}},

这裡的a和b是正数。

对于所有的非零复数 $a$ ，有 $n$ 个不同的复数 $b$ 使得 $b^{n}=a$ ，所以符号 ${\sqrt[{n}]{a}}$ 就會出現歧义（通常這樣寫是取 $n$ 個值當中主幅角最小的）。 $n$ 次单位根是特别重要的。

当一个数从根号形式变换到幂形式，幂的规则仍适用（即使对分数幂），也就是

a^{m}a^{n}=a^{m+n}

\left({\frac {a}{b}}\right)^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}}

\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}

例如:

{\sqrt[{3}]{a^{5}}}{\sqrt[{5}]{a^{4}}}=a^{\frac {5}{3}}a^{\frac {4}{5}}=a^{{\frac {5}{3}}+{\frac {4}{5}}}=a^{\frac {37}{15}}

若要做加法或减法，需考慮下列的概念。

{\sqrt[{3}]{a^{5}}}={\sqrt[{3}]{aaaaa}}={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}=a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}

若已可以简化根式表示式，则加法和减法就只是群的“同类项”问题。

例如

{\sqrt[{3}]{a^{5}}}+{\sqrt[{3}]{a^{8}}}

={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}+{\sqrt[{3}]{a^{6}a^{2}}}

=a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}+a^{2}{\sqrt[{3}]{a^{2}}}

=({a+a^{2}}){\sqrt[{3}]{a^{2}}}

未經化簡的根數，一般叫做“不尽根数”（surd），可以处理为更简单的形式。

如下恒等式是處理不尽根数的基本技巧:

${\sqrt {a^{2}b}}=abs(a){\sqrt {b}}$

${\sqrt[{n}]{a^{m}b}}=a^{\frac {m}{n}}{\sqrt[{n}]{b}}$

${\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}$

$\left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}\right)^{-1}={\frac {1}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{a-b}}$

方根可以表示为无穷级数:

{\begin{aligned}&(1+x)^{\frac {s}{t}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(s+t-kt)}{(s+t)n!t^{n}}}x^{n}\\&(|x|<1)\end{aligned}}

任何数的所有的根，实数或复数的，可以通过简单的算法找到。这个数应当首先被写为如下形式 $ae^{i\varphi }$ (参见欧拉公式)。接着所有的n次方根给出为:

e^{({\frac {\varphi +2k\pi }{n}})i}\times {\sqrt[{n}]{a}}

对于 $k=0,1,2,\ldots ,n-1$ ，这裡的 ${\sqrt[{n}]{a}}$ 表示 $a$ 的主 $n$ 次方根。

正实数

所有 $x^{n}=a$ 或 $a$ 的 $n$ 次方根，这裡的 $a$ 是正实数，的复数解由如下简单等式给出:

e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}\times {\sqrt[{n}]{a}}

对于 $k=0,1,2,\ldots ,n-1$ ，这裡的 ${\sqrt[{n}]{a}}$ 表示 $a$ 的主 $n$ 次方根。

曾经有數學猜想，認為多项式的所有根可以用根号和四則运算来表达；但是阿贝尔-鲁菲尼定理断言了这不是普遍为真的。例如，方程

\ x^{5}=x+1

的解不能用根号表达。

要解任何n次方程，参见求根算法。

對於正數 $A$ ，可以通過以下算法求得 ${\sqrt[{n}]{A}}$ 的值：

猜一個 ${\sqrt[{n}]{A}}$ 的近似值，將其作為初始值 $x_{0}$
設 $x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]$ 。記誤差為 $\Delta x_{k}={\frac {1}{n}}\left[{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}-x_{k}\right]$ ，即 $x_{k+1}=x_{k}+\Delta x_{k}$ 。
重複步驟2，直至絕對誤差足夠小，即： $|\Delta x_{k}|<\epsilon$ 。