2的12次方根

2的12次方根是一個代數無理數，計為${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}$或${\displaystyle 2^{\frac {1}{12}}}$，是方程式${\displaystyle x^{12}-2=0}$的正實根。它是音樂理論中的一個重要常數，它代表了十二平均律中半音的頻率比。

2的12次方根

2的12次方根
數表—无理数 ${\displaystyle \color {blue}{\sqrt {2}}}$ - ${\displaystyle \color {blue}\varphi }$ - ${\displaystyle \color {blue}{\sqrt {3}}}$ - ${\displaystyle \color {blue}{\sqrt {5}}}$ - ${\displaystyle \color {blue}\delta _{S}}$ - ${\displaystyle \color {blue}e}$ - ${\displaystyle \color {blue}\pi }$
識別
種類	無理數
符號	${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}$
位數數列編號	A010774
性質
連分數	[1; 16, 1, 4, 2, 7, 1, 1, 2, 2, 7, 4, 1, 2, 1, 60, 1, 3, 1, 2]
以此為根的多項式或函數	${\displaystyle x^{12}-2=0}$
表示方式
值	${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}\approx }$1.05946309...
二进制	1.00001111001110001111100100101101…
十进制	1.05946309435929526456182529494634…
十六进制	1.0F38F92D97962CBCB533704A0D391B84…
查 论 编

數值

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}$的近似值為1.0594630943593，其值略高於${\displaystyle {\frac {18}{17}}}$^[1] ≈ 1.0588。更好的近似值為${\displaystyle {\frac {196}{185}}}$ ≈ 1.059459或${\displaystyle {\frac {18904}{17843}}}$ ≈ 1.0594630948。

性質

• 方程式${\displaystyle x^{12}-2=0}$的正實根
• 超體積為2的12維超立方體之邊長
• 其值約為1.0594630943593 （OEIS數列A010774）
• 其連分數為：

  ${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}=1+{\frac {1}{16+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}$（OEIS數列A103922）

半音音階

因為音程是頻率的比例，等於平均律半音音階劃分八度（具有2:1的比例）成12等份。

利用此比值，以半音音階的音調從最接近且高於中央C的A以頻率440開始，產生音高的順序與波的頻率如下：

音符	頻率 Hz	倍率	係數 （六處）
A	440.00	20/12	1.000000
A♯/B♭	466.16	21/12	1.059463
B	493.88	22/12	1.122462
C	523.25	23/12	1.189207
C♯/D♭	554.37	24/12	1.259921
D	587.33	25/12	1.334839
D♯/E♭	622.25	26/12	1.414213
E	659.26	27/12	1.498307
F	698.46	28/12	1.587401
F♯/G♭	739.99	29/12	1.681792
G	783.99	210/12	1.781797
G♯/A♭	830.61	211/12	1.887748
A	880.00	212/12	2.000000

最終的A（880 Hz）的頻率為初始的A（440 Hz）的兩倍，也就是說，他們差了八度。

間距調整

由於一個半音的頻率比接近106％，一個錄音的播放速度增加或減慢6％將會使音高向上或向下一個半音移位“半步”。

參見

• 數表
• 純律
• 音樂數學
• 方根
• 十二平均律

參考文獻

1. 卓仁祥《从文化角度看十二平均律的发现》美国TEXAS大学

• Barbour, J.M.. A Sixteenth Century Approximation for Pi, The American Mathematical Monthly, Vol. 40, no. 2, 1933. Pp. 69–73.
• Ellis, Alexander and Hermann Helmholtz. On the Sensations of Tone. Dover Publications, 1954. ISBN 0-486-60753-4
• Partch, Harry. Genesis of a Music. Da Capo Press, 1974. ISBN 0-306-80106-X