设 是一个集合 到集合 的映射。如果 是 的子集,那么称满足的映射[1] 是映射 在 上的限制。不正式地说, 是和 相同的映射,但只定义在 上。
如果将映射 看作一种在笛卡尔积 上的关系 ,然后 在 上的限制可以用它的图像来表示:
其中 表示图像 中的有序对。
- 非单射函数 在域 上的限制是 ,而这是一个单射。
- 将Γ函数限制在正整数集上,并将变量平移 ,就得到阶乘函数: 。
- 映射 在其整个定义域 上的限制即是原函数,即 。
- 对一个映射在限制两次与限制一次效果相同,只要最终的定义域一样。也就是说,若 ,则 。
- 集合 上的恒等映射在集合 上的限制即是 到 的包含映射。[2]
- 连续函数的限制是连续的。[3] [4]
若某函數存在反函數,其映射必為單射。若映射 非單射,可以限制其定義域以定義其一部分的反函數。如:
因為 ,故非單射。但若將定義域限制到 時該映射為單射,此時有反函數
(若限制定義域至 ,輸出 的負平方根的函數為反函數。)另外,若允許反函數為多値函數,則無需限制原函數的定義域。
層將函數的限制推廣到其他物件的限制。
層論中,拓撲空間的每個開集,有另一個範疇中的物件與之對應,其中要求滿足某些性質。最重要的性質是,若一個開集包含另一個開集,則對應的兩個物件之間有限制態射,即若,則有態射,且該些態射應仿照函數的限制,滿足下列條件:
- 對的每個開集,限制態射為上的恆等態射。
- 若有三個開集,則複合。
- (局部性)若為某個開集的開覆蓋,且滿足:對所有,,則。
- (黏合) 若為某個開集的開覆蓋,且對每個,給定截面,使得對任意兩個,都有在定義域重疊部分重合(即),則存在截面使得對所有,。
所謂拓撲空間上的層,就是該些物件和態射組成的整體。若僅滿足前兩項條件,則稱為預層。
Munkres, James R. Topology 2nd. Upper Saddle River: Prentice Hall. 2000. ISBN 0-13-181629-2.
Adams, Colin Conrad; Franzosa, Robert David. Introduction to Topology: Pure and Applied. Pearson Prentice Hall. 2008. ISBN 978-0-13-184869-6.