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零阶逻辑是在与布尔函数、一元谓词演算、命题逻辑或句子逻辑有关主题的从业人员中流行的术语。使用这个术语的好处是它确立了更高的抽象层次,在其中上述这些主题之间的很无关紧要的区别可以在这个中肯的同构下被包容。
向着最初的方向,表1列出了具体类型X × Y → B和抽象类型 B × B → B的十六个函数在零阶逻辑的不同语言中的等价表达。
L1 | L2 | L3 | L4 | L5 | L6 |
---|---|---|---|---|---|
x : | 1 1 0 0 | ||||
y : | 1 0 1 0 | ||||
f0 | f0000 | 0 0 0 0 | ( ) | 假 | 0 |
f1 | f0001 | 0 0 0 1 | (x)(y) | 非x且非y | ¬x ∧ ¬y |
f2 | f0010 | 0 0 1 0 | (x) y | y且非x | ¬x ∧ y |
f3 | f0011 | 0 0 1 1 | (x) | 非x | ¬x |
f4 | f0100 | 0 1 0 0 | x (y) | x且非y | x ∧ ¬y |
f5 | f0101 | 0 1 0 1 | (y) | 非y | ¬y |
f6 | f0110 | 0 1 1 0 | (x, y) | x不等于y | x ≠ y |
f7 | f0111 | 0 1 1 1 | (x y) | 不x且y | ¬x ∨ ¬y |
f8 | f1000 | 1 0 0 0 | x y | x且y | x ∧ y |
f9 | f1001 | 1 0 0 1 | ((x, y)) | x等于y | x = y |
f10 | f1010 | 1 0 1 0 | y | y | y |
f11 | f1011 | 1 0 1 1 | (x (y)) | 非x若非y | x → y |
f12 | f1100 | 1 1 0 0 | x | x | x |
f13 | f1101 | 1 1 0 1 | ((x) y) | 非y若非x | x ← y |
f14 | f1110 | 1 1 1 0 | ((x)(y)) | x或y | x ∨ y |
f15 | f1111 | 1 1 1 1 | (( )) | 真 | 1 |
对十六个布尔函数的六种语言按如下次序方便的描述:
还要注意是同与相同的函数,并且和的包含析取表示可以替代为排斥析取而不影响意义,因为参与析取的项已经是分离了的。但是,函数和函数不是相同的东西。
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