集合域

在集合代数中，域，或者代数，是指一种有序对${\displaystyle \,(\Omega ,{\mathcal {F}})\,}$，其中 ${\displaystyle \Omega }$ 是集合，${\displaystyle \,{\mathcal {F}}\,}$ 是由集合 ${\displaystyle \Omega }$ 的一些子集构成的一种集类，它满足 ${\displaystyle \Omega }$ 自身是它的元素，且对加法（有限并）封闭和乘法（有限交）及逆（余集）运算封闭。在这样的集类中，空集类似于 0，因为和它相加（并）的任何集合结果还是自身；全集相当于 1，因为和它相乘（交）的任何集合还是自身。

此條目介紹的是集合代数中的代数。关于数学分支，请见「代数」。

也可把满足上述条件的集类${\displaystyle \,{\mathcal {F}}\,}$称为域或代数

定义

非空集类 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )}$ 若满足以下条件：

1. ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}$；
2. ${\displaystyle \forall A,B\in {\mathcal {F}},A\cup B\in {\mathcal {F}},A\cap B\in {\mathcal {F}}}$(对有限并、有限交封闭)；
3. ${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {F}},A^{c}\in {\mathcal {F}}}$(对补集运算封闭).

则称其为 ${\displaystyle \Omega }$ 上的一个代数^[1]。

或者可以把代数定义为有元素 ${\displaystyle \Omega }$ 和空集、对有限交（或有限并）和余集运算封闭的 ${\displaystyle \Omega }$ 的子集类^[2]，这两者是等价的。

性质

无论从哪个定义出发，利用德摩根定律和集合交与并运算的分配律，都可列出代数具有如下性质：空集和全集是它的元素、对有限并和有限交封闭、对补集运算封闭、对差集运算封闭。

一个代数也一定是一个环^[3]。用可列不交并封闭一个代数，将得到一个σ-代数^[2]:5，而后者是数学严格化测度论与概率论非常重要的一种集类。

其中用可列不交并封闭一个代数 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 得到的新集类定义是：

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\sum \!f}:=\left\{A|A=\sum _{i=1}^{n}A_{i},A_{i}\in {\mathcal {F}},i\neq j\Rightarrow A_{i}\cap A_{j}=\emptyset ,i,j=1,2,\cdots \right\}}$

其他定义

• ${\displaystyle \,{\mathcal {F}}\,}$ 是 ${\displaystyle \Omega }$ 的幂集布尔代数的子代数。在明确上下文时，亦称 F 为集合域。
• ${\displaystyle \Omega }$ 的元素称为点，而 ${\displaystyle \,{\mathcal {F}}\,}$ 的元素称为复形。

集合域在布尔代数的表示理论中扮演中心角色。所有布尔代数都可以被表示为集合域。

参见

• 内部代数
• 亚历山德罗夫拓扑（英语：Alexandrov topology）
• Stone布尔代数表示定理
• 史东对偶性（英语：Stone duality）
• 布尔环

参考

1. A.H.施利亚耶夫. 概率（第一卷）（修订和补充第三版）. 高等教育出版社. : 134. ISBN 978-7-04-022059-9.
2. 严加安. 测度论讲义. 科学出版社. : 4. ISBN 978-7-03-013409-7.
3. 程士宏. 测度论与概率论基础. 北京大学出版社. 2004: 5. ISBN 978-7-301-06345-3.

• Goldblatt, R., Algebraic Polymodal Logic: A Survey, Logic Journal of the IGPL, Volume 8, Issue 4, p. 393-450, July 2000
• Goldblatt, R., Varieties of complex algebras, Annals of Pure and Applied Logic, 44, p. 173-242, 1989
• Johnstone, Peter T. Stone spaces 3rd edition. Cambridge: Cambridge University Press. 1982. ISBN 0-521-33779-8. 引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Naturman, C.A., Interior Algebras and Topology, Ph.D. thesis, University of Cape Town Department of Mathematics, 1991