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在抽象代数和分析学中,以古希腊数学家阿基米德命名的公理,是一些赋范的群、域和代数结构具有的一个性质,可表述如下:
對於任何正實數 及 ,即使 多麼小,或是 多麼大,也必定存在自然數 ,使得 。
這公理的粗略意義是,數字系統不存在具有无穷大或无穷小性質的元素。
这个概念源于古希腊对量的理论。由于它出现在阿基米德的《论球体和圆柱体》的公理五,1883年,奧地利數學家奥托·施托尔茨赋予它这个名字[1]。
簡單地說,阿基米德性質可以認為以下二句敘述的任一句:
假設對所有,(注意表示个相加),令,則爲的上界(上方有界,依實數完備性,必存在最小上界,令其為),於是有
得出也是的一個上界,這與是最小上界矛盾。這樣就由實數的完備性推出了阿基米德性質,但阿基米德性質推不出實數的完備性,因為有理數滿足阿基米德性質,但並不是完備的。
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