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莫比烏斯-坎特八邊形
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在幾何學中,莫比烏斯-坎特八邊形是一個複正多邊形,其位於複希爾伯特平面中由八個頂點和八個三元稜組成,是一個自身對偶的多邊形[2]。考克斯特將其命名為莫比烏斯-坎特八邊形,用於共享複排佈(英语:Complex configuration)結構,如莫比烏斯-坎特排佈(英语:Möbius–Kantor configuration)。[3]
莫比烏斯-坎特八邊形 | |
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![]() 4個紅色三角形和4個藍色三角形分別代表其8條三元邊 | |
類型 | 八邊形 |
對偶 | 自身對偶 |
邊 | 8個3{} ![]() |
頂點 | 8 |
施萊夫利符號 | 3{3}3 |
考克斯特符號(英语:Coxeter–Dynkin diagram) | ![]() ![]() ![]() |
對稱群 | 3[3]3(英语:Binary_tetrahedral_group), order 24 (謝潑德群) |
特性 | 正、複 |
這種形狀由杰弗里·科林·謝潑德(英语:Geoffrey Colin Shephard)於1952年發現,其將此形狀根據其對稱性以3(24)3表示,考克斯特將這種對稱性計為3[3]3,其與24階的二元四面體群(英语:Binary_tetrahedral_group)同構。[4]
性質
莫比烏斯-坎特八邊形是一種由8個頂點和8條稜所組成的幾何結構,其在施萊夫利符號中可以用3{3}3來表示、在考克斯特記號中可以用來表示。與一般的八邊形不同,莫比烏斯-坎特八邊形位於複希爾伯特平面,且構成這種形狀的稜每個稜階連接了三個頂點,稱為三元稜或三元邊(Trion)[註 1],這種幾何結構在施萊夫利符號中可以用3{}來表示。[5]
頂點座標
莫比烏斯-坎特八邊形可以於空間中給出,其為:
(ω,−1,0) | (0,ω,−ω2) | (ω2,−1,0) | (−1,0,1) |
(−ω,0,1) | (0,ω2,−ω) | (−ω2,0,1) | (1,−1,0) |
其中。
作為一種排佈
莫比烏斯-坎特八邊形3{3}3的排佈矩陣(英语:Configuration_(polytope))為:[6]
實空間的代表
在實空間中,莫比烏斯-坎特八邊形可以用四維空間的正十六胞体來代表,[7]其共用了相同的8個頂點。當莫比烏斯-坎特八邊形的8條三元邊被繪製為三條獨立的邊時,即可在當莫比烏斯-坎特八邊形中觀察到正十六胞体的24條邊。在下圖中這8個三角形被以每個個分成一組,分別塗上藍色和紅色。下圖中,B4投影在兩個顏色組之間以兩個擁有不同對稱性的方向進行投影。此外,所代表的實空間形狀也可以是一個β4的四維正軸形。[7]
參見
註釋
參考文獻
- Coxeter, H.S.M., Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-39490-2
- Shephard, G.C.; Regular complex polytopes, Proc. London math. Soc. Series 3, Vol 2, (1952), pp 82–97.
- Coxeter, Complex Regular polytopes, p.117, 132