球(英語:sphere)在數學裡,是指球面內部的空間。球可以是封閉的(包含球面的邊界點,稱為閉球),也可以是開放的(不包含邊界點,稱為開球)。
一个球
在歐氏空間裡,球是指球面的內部。
球的概念不只存在於三維歐氏空間裡,亦存在於較低或較高維度,以及一般度量空間裡。
維空間裡的球稱為
維球,且包含於
維球面內。因此,在歐氏平面裡,球為一圓盤,包含在圓內。在三維空間裡,球則是指在二維球面邊界內的空間。
歐氏空間裡的球
在
維歐氏空間裡,一個中心為
,半徑為
的
維(開)球是個由所有距
的距離小於
的點所組成之集合。一個中心為
,半徑為
的
維閉球是個由所有距
的距離小於等於
的點所組成之集合。
在
維歐氏空間裡,每個球都是某個超球面內部的空間。在一維時,球是個有界的區間;在二維時,是某個圓的內部(圓盤);而在三維時,則是某個球面的內部。
體積
主条目:n維球的體積
在
維歐氏空間裡,半徑
的球之
維體積為[1]:
![{\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efe5f78002f21f0939b55bc856e37a509b6831be)
其中,Γ是李昂哈德·歐拉的Γ函數(可被視為階乘在實數的延伸)。使用Γ函數在整數與半整數時的公式,可不需要估算Γ函數即可計算出球的體積:
![{\displaystyle V_{2k}(R)={\frac {\pi ^{k}}{k!}}R^{2k},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6b6309cc28856b8a075b3f267bfbae07e16e2ef)
![{\displaystyle V_{2k+1}(R)={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={\frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71f75286b204c46f7562cb2c7041f0903f40967e)
在奇數維度時的體積公式裡,對每個奇數
,雙階乘 (2k + 1)!! 定義為 (2k + 1)!! = 1 · 3 · 5 ··· (2k − 1) · (2k + 1)。
一般度量空間裡的球
令 (M,d) 為一度量空間,即具有度量(距離函數)d 的集合 M。中心為 M 內的點 p,半徑為 r > 0 的開球,通常標計為 Br(p) 或 B(p; r),定義為
![{\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in M\mid d(x,p)<r\},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eccc99c23537700cc4cfa47b74545c06afd75dc)
其閉球,可標計為 Br[p] 或 B[p; r],則定義為
![{\displaystyle B_{r}[p]=\{x\in M\mid d(x,p)\leq r\}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97410ad1bcfd5d3cf7fd3a7cd6d9dcbb16eb6532)
請特別注意,一個球(無論開放或封閉)總會包含點 p,因為依定義, r > 0。
開球的閉包通常標記為
。雖然
與
總是成立的,但
則不一定總是為真。舉例來說,在一個具離散度量的度量空間 X 裡,對每個 X 內的 p 而言,
,但
。
一個(開或閉)單位球為一半徑為 1 的球。
度量空間的子集是有界的,若該子集包含於某個球內。一個集合是全有界的,若給定一正值半徑,該集合可被有限多個具該半徑的球所覆蓋。
度量空間裡的開球為拓撲空間裡的基,其中所有的開集合均為某些(有限或無限個)開球的聯集。該拓撲空間被稱為由度量 d 導出之拓撲。
賦範向量空間裡的球
每個具範數 |·| 的賦範向量空間亦為一度量空間,其中度量 d(x, y) = |x − y|。在此類空間裡,每個球 Br(p) 均可視為是單位球 B1(0) 平移 p,再縮放 r 後所得之集合。
前面討論的歐氏空間裡的球亦為賦範向量空間裡球的一例。
p-範數
在具 p-範數 Lp 的笛卡爾空間
裡,開球是指集合
![{\displaystyle B(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\,:\,\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}<r^{p}\right\}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f73e985e32c6cf3805f284b21ea334db702a35c)
在二維(n=2)時,L1(通常稱為曼哈頓度量)的球是對角線平行於坐標軸的正方形;而 L∞(切比雪夫度量)的球則是個邊平行於坐標軸的正方形。對於 p 的其他值,該球則會是超橢圓的內部。
在三維(n=3)時,L1 的球是個對角線平行為坐標軸的八面體,而 L∞ 的球則是個邊平行為坐標軸的正立方體。對於 p 的其他值,該球則會是超橢球的內部。
一般凸範數
更一般性地,給定任一 Rn 內中心對稱、有界、開放且凸的集合 X,均可定義一個在 Rn 的範數,該球均為 X 平移再一致縮放後所得之集合。須注意,若將此定理內的「開」子集以「閉」子集替代,則定理不能成立,因為原點也符合定理內所定之集合,但無法定義 Rn 內的範數。
拓撲空間裡的球
在拓撲學的文獻裡,「球」可能有两種含义,由上下文决定。
開集
“(开)球”一词有时被非正式地用于指代任何开集:可以用“p 点周围的一个球”代表包含p 的一个开集。该集合同胚于什么依赖于背景拓扑空间以及所选取的开集。同样,“闭球”有时用于表示这样一个开集的闭包。(这可能产生误导,例如超度量空间中一个闭球不是同样半径的开球的闭包,它们都是既开且闭的。)
有时,邻域用于指代这个意义上的球,但是邻域其实有更一般的意义:p 的一个邻域是任何包含一个p 的开集的集合,因此通常不是开集。
拓撲球
X 內的 n 維(開或閉)拓撲球是指 X 內同胚於 n 維(開或閉)歐幾里得球的任一子集,該子集不一定需要由某個度量導出。n 維拓撲球在組合拓撲學裡很重要,為建構胞腔復形的基礎。
任一 n 維開拓撲球均同胚於笛卡爾空間 Rn 及 n 維開單位超方形
。任一 n 維閉拓撲球均同胚於 n 維閉超方形 [0, 1]n。
n 維球同胚於 m 維球,若且唯若 n = m。n 維開球 B 與 Rn 間的同胚可分成兩種類型,以 B 的兩種可能之拓撲定向來區分。
一個 n 維拓撲球不一定是光滑的;若該球是光滑的,亦不一定需微分同胚於一 n 維歐幾里得球。
另見
- 球 - 一般常見的意義
- 圓盤
- 形式球,將球的半徑延伸至負值。
- 鄰域
- 三維球面
- n維球面(超球面)
- 亞歷山大帶角球
- 流形
- n維球的體積
- 正八面體,
度量下的三維球
参考文献
- D. J. Smith and M. K. Vamanamurthy, "How small is a unit ball?", Mathematics Magazine, 62 (1989) 101–107.
- "Robin conditions on the Euclidean ball", J. S. Dowker [1]
- "Isometries of the space of convex bodies contained in a Euclidean ball", Peter M. Gruber[2][永久失效連結]
参见