极值定理
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在微积分中,极值定理(或最值定理[1]:84)说明如果实函数f在闭区间[a,b]上是连续函数,则它一定取得最大值和最小值,至少一次。也就是说,存在[a,b]内的c和d,使得:
一个相关的定理是有界性定理,它说明闭区间[a,b]内的连续函数f在该区间上有界。也就是说,存在实数m和M,使得:
极值定理强化了有界性定理,它表明函数不仅是有界的,而且它的最小上界就是最大值,最大下界就是最小值。
我们来证明f 的上界和存在最大值。把这个结果应用于函数–f,也可推出f 的下界和存在最小值。
我们首先证明有界性定理,它是证明极值定理中的一个步骤。
假设函数f在区间[a,b]内連續且没有上界,那么对于每一个自然数n,都存在[a,b]内的一个xn,使得f(xn) > n(任定的,總之條件為真即可)。这便定义了一个序列{xn}。
由于[a,b]是有界的,根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理,可推出存在{xn}的一个收敛的子序列。把它的极限记为x。由于[a,b]是闭区间,它一定含有x。因为f在x处连续,我们知道收敛于实数f(x)。
但对于所有的k,都有,这意味着发散于无穷大。
前者描述為收斂,後者描述為無窮大,得出矛盾。因此,f在[a,b]内有上界。同理f在[a,b]内有下界。证毕。
基本步骤为:
我们现在证明函数f 在区间[a,b]内有最大值。根据有界性定理,f 有上界,因此,根据实数的戴德金完备性,f 的最小上界M存在。我们需要寻找[a,b]内的一个d,使得M = f (d)。设n为一个自然数。由于M是最小上界,M – 1/n就不是 f 的上界。因此,存在[a,b]内的dn,使得M – 1/n < f (dn)。这便定义了一个序列{dn}。由于M是f 的一个上界,即便是对于所有的n,我们仍有M – 1/n < f (dn) ≤ M。因此,序列收敛于M。
根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理,可知存在一个子序列,它收敛于某个d,且由于[a,b]是闭区间,。因为f 在d 处连续,所以序列收敛于f (d)。但是的一个子序列,收敛于M,因此M = f (d)。所以,f 在d 处取得最小上界M。证毕。
[2] 设M是f 在区间[a,b]上的最小上界,我们要证明存在使得。我们使用反证法:如若不然,对任意 ,,所以,对任意的,。我们考虑正值的函数
因为分母不是零,这个函数是良定义的,并且是连续的。然而,由于M是f (x)的最小上界,所以存在 ,使得f (x)可以无限地接近M,从而g(x)是无界的。这和有界性定理矛盾。证毕。
注: 上面构造函数g(x)来证明最大值能在某个d取到的方法也在代数基本定理的基于Liouville定理的证明中出现。
如果把f的连续性减弱为半连续,则有界性定理和极值定理的对应的一半仍然成立,且扩展的实数轴上的值–∞和+∞也可以允许为可能的值。更加精确地:
定理:如果函数f : [a,b] → [–∞,∞)是上半连续的,也就是说,对于[a,b]内的所有x,都有:
那么f有上界,且取得最小上界。
证明:如果对于[a,b]内的所有x,都有f(x) = –∞,那么最小上界也是–∞,于是定理成立。在任何其它情况下,只需把上面的证明稍加修改便可。在有界性定理的证明中,f在x处的半连续性只意味着子序列的上极限有上界f(x) < ∞,但这已足以得到矛盾。在极值定理的证明中,f在d处的半连续性意味着子序列的上极限有上界f(d),但这已足以推出f(d) = M的结论。证毕。
把这个结果应用于−f,可得:
定理:如果函数f : [a,b] → (–∞,∞]是下半连续的,也就是说,对于[a,b]内的所有x,都有:
那么f有下界,且取得最大下界。
一个实函数是上半连续且下半连续的,当且仅当它是连续的。因此,从这两个定理就可以推出有界性定理和极值定理。