权重

权重函数（英語：Weight function）是执行求和、求积或求平均值等时候用来给不同元素施加不同权重的函数。

应用权重函数的结果是加权^{[註 1]}和或加权平均值。权重函数在统计学和分析学中经常出现，并且与测度的概念密切相关。权重函数可用于离散和连续的设置，构建称为加权微积分或元微积分的微积分系统。

在量測時，因測量值精度的不同，而在平差計算中採取的權重不同；若測量值的精度較高，則平差計算時也應占有較高的「比重」，平差法將它稱為「權」。^{[註 2]}

权的基本公式

求权的基本公式为

${\displaystyle p_{i}={\frac {\mu ^{2}}{m_{i}^{2}}}(i=1,2\ldots )}$

式中，${\displaystyle \mu }$是任意常数，${\displaystyle m_{i}}$是中误差。由此可见，权与中误差平方成反比，即精度越高，权越大。应用上式求一组观测值的权${\displaystyle p_{i}}$时，必须采用同一个${\displaystyle \mu }$值。

由该定义式，可以看出，当${\displaystyle m_{i}=\mu }$时，${\displaystyle p_{i}=1}$，所以${\displaystyle \mu }$是权等于1的观测值的中误差，通常称权等于1的权为单位权，权为1的观测值为单位权观测值。而${\displaystyle \mu }$为单位权观测值的中误差，简称为单位权中误差。

可以写出各观测值的权之间的比例关系：

${\displaystyle p_{1}:p_{2}:\dots :p_{n}={\frac {\mu ^{2}}{m_{1}^{2}}}:{\frac {\mu ^{2}}{m_{2}^{2}}}:\ldots :{\frac {\mu ^{2}}{m_{n}^{2}}}={\frac {1}{m_{1}^{2}}}:{\frac {1}{m_{2}^{2}}}:\ldots :{\frac {1}{m_{n}^{2}}}}$

可知，一组观测值的权之比等于他们的中误差平方的倒数之比。不论假设${\displaystyle \mu }$取何值，这组权之间的比例关系不变。所以，权反映了观测值之间的相互精度关系。就计算p值来说，不在乎权本身数值的大小，而在于确定他们之间的比例关系。${\displaystyle m_{i}}$可以是同一个量的观测中误差，也可以是不同量的观测中误差，即权可以反映同一量的若干个观测值之间的精度高低，也可以反映不同量的观测值之间的精度高低。

普通测量中的定权

同精度丈量时，边长的权与边长成反比。

当每公里水准测量的精度相同时，水准路线观测高差的权与路线长度成反比。

当各测站观测高差的精度相同时，水准路线观测高差的权与测站数成反比。

由不同个数的同精度观测值求得得算术平均值，其权与观测值个数成正比。

观测值函数的权

设有独立观测值 ${\displaystyle L_{1},L_{2},\ldots ,L_{n}}$，它们的標準差及权分别为${\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n}}$和${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}$。令观测值函数为：

${\displaystyle z=f(L_{1},L_{2}\ldots L_{n})}$

由误差传播及定权公式，得

${\displaystyle {\frac {\mu ^{2}}{p_{z}}}=\left({\frac {\partial f}{\partial L_{1}}}\right)^{2}{\frac {\mu ^{2}}{p_{1}}}+\left({\frac {\partial f}{\partial L_{2}}}\right)^{2}{\frac {\mu ^{2}}{p_{1}}}+\ldots +\left({\frac {\partial f}{\partial L_{n}}}\right)^{2}{\frac {\mu ^{2}}{p_{n}}}}$

式中${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial L_{n}}}\right)}$是常量，用${\displaystyle f_{i}}$表示，上式约去${\displaystyle \mu ^{2}}$后得

${\displaystyle {\frac {1}{p_{z}}}=f_{1}^{2}{\frac {1}{p_{1}}}+f_{2}^{2}{\frac {1}{p_{2}}}+\ldots +f_{n}^{2}{\frac {1}{p_{n}}}=\left[{\frac {ff}{p}}\right]}$

这就是独立观测值权倒数与其函数权倒数之间关系的表达式。这个表达式成为权倒数传播律。

广义算术平均值的权，等于观测值权之和。

${\displaystyle p_{x}=[p]}$

注释

1. 加權的意思就是乘以權重，亦即乘以係數的意思
2. 此「比重」是相對的數值，「權」亦是相對的數值。當精度越高，權就越大