有界函数維基百科,自由的 encyclopedia 在数学中,如果在某个集合 X {\displaystyle X} 上定义的具有实数或复数值的某个函数 f {\displaystyle f} 的值域是有界集合,则函数 f {\displaystyle f} 被称为有界的(或有界函数)。换句话说,存在实数 M > 0 {\displaystyle M>0} ,使得对于集合 X {\displaystyle X} 中的所有 x {\displaystyle x} ,都有 | f ( x ) | ≤ M {\displaystyle |f(x)|\leq M} 。有时,如果对于集合 X {\displaystyle X} 中的所有 x {\displaystyle x} ,都有 f ( x ) ≤ A {\displaystyle f(x)\leq A} ,则函数 f {\displaystyle f} 称为上有界的, A {\displaystyle A} 就是它的一个上界;如果对于集合 X {\displaystyle X} 中的所有 x {\displaystyle x} ,都有 f ( x ) ≥ B {\displaystyle f(x)\geq B} ,则函数称为下有界的, B {\displaystyle B} 就是它的一个下界。 有界函数(红色)和无界函数(蓝色)的示意图。可以看到,有界函数的图形保持在(虚线)水平带内,而无界函数的图形不保持在水平带内。 一个特例是有界数列,其中 X {\displaystyle X} 是所有自然数所组成的集合 N {\displaystyle \mathbb {N} } 。所以,一个数列 f = ( a 0 , a 1 , a 2 , … ) {\displaystyle f=(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )} 是有界的,如果存在一个数 M > 0 {\displaystyle M>0} ,使得对于所有的自然数 n {\displaystyle n} ,都有 | a n | ≤ M {\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert \leq M} 。
在数学中,如果在某个集合 X {\displaystyle X} 上定义的具有实数或复数值的某个函数 f {\displaystyle f} 的值域是有界集合,则函数 f {\displaystyle f} 被称为有界的(或有界函数)。换句话说,存在实数 M > 0 {\displaystyle M>0} ,使得对于集合 X {\displaystyle X} 中的所有 x {\displaystyle x} ,都有 | f ( x ) | ≤ M {\displaystyle |f(x)|\leq M} 。有时,如果对于集合 X {\displaystyle X} 中的所有 x {\displaystyle x} ,都有 f ( x ) ≤ A {\displaystyle f(x)\leq A} ,则函数 f {\displaystyle f} 称为上有界的, A {\displaystyle A} 就是它的一个上界;如果对于集合 X {\displaystyle X} 中的所有 x {\displaystyle x} ,都有 f ( x ) ≥ B {\displaystyle f(x)\geq B} ,则函数称为下有界的, B {\displaystyle B} 就是它的一个下界。 有界函数(红色)和无界函数(蓝色)的示意图。可以看到,有界函数的图形保持在(虚线)水平带内,而无界函数的图形不保持在水平带内。 一个特例是有界数列,其中 X {\displaystyle X} 是所有自然数所组成的集合 N {\displaystyle \mathbb {N} } 。所以,一个数列 f = ( a 0 , a 1 , a 2 , … ) {\displaystyle f=(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )} 是有界的,如果存在一个数 M > 0 {\displaystyle M>0} ,使得对于所有的自然数 n {\displaystyle n} ,都有 | a n | ≤ M {\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert \leq M} 。