在數學裏,給予一個定義於內積空間的函數,假若對於任意旋轉,函數的參數值可能會改變,但是函數的數值仍舊保持不變,則稱此性質為旋轉不變性(rotational invariance),或旋轉對稱性(rotational symmetry),因為函數對於旋轉具有對稱性。例如,假設以xyz-參考系的原點為固定點,任意旋轉xyz-參考系,而函數
的數值保持不變,因此,函數
對於任意旋轉具有不變性,或對於任意旋轉具有對稱性。
在物理學裏,假若物理系統的性質跟它在空間的取向無關,則這系統具有旋轉不變性。根據諾特定理,假若物理系統的作用量具有旋轉不變性,則角動量守恆。
根據物理學家多年來仔細研究的結果,到目前為止,所有的物理基礎定律都具有旋轉不變性[1]。
假設一個量子系統的位勢為球對稱位勢
,則哈密頓算符具有旋轉不變性。定義旋轉算符
為一個對於 z-軸的無窮小旋轉
。則正弦函數與餘弦函數可以分別近似為
、
。
新直角坐標與舊直角坐標之間的關係式為
、
、
。
將
作用於波函數
,
;
其中,
是角動量的 z-分量,
。
所以,旋轉算符
可以表達為
。
假設
是哈密頓算符的能級本徵態,則
。
由於
只是一個虛設變數,
。
在做一個微小旋轉之後,
、
。
所以,
。哈密頓算符的能級本徵態
形成一組完備集 (complete set),旋轉算符和哈密頓算符的對易關係是
。
因此,
。
根據埃倫費斯特定理,
的期望值對於時間的導數是
。
所以,
。
由於
顯性地不含時間,
。
總結,
不含時間,
是個運動常數。角動量的 z-分量守恆。類似地,可以導出其它分量也擁有同樣的性質。所以,整個角動量守恆。
- Gasiorowics, Stephen. Quantum Physics (3rd ed.). Wiley. 2003. ISBN 978-0471057000.
- Stenger, Victor J. (2000). Timeless Reality Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes. Prometheus Books. 特別參考第十二章。非專科性書籍。