在黎曼几何中,数量曲率(Scalar curvature)或里奇数量(Ricci scalar)是一个黎曼流形最简单的曲率不变量。对黎曼流形的每一点,数量曲率是由该点附近的内蕴几何确定的一个实数。
在 2 维数量曲率完全确定了黎曼流形的曲率;当维数 ≥ 3,曲率比数量曲率含有更多的信息。参见黎曼流形的曲率中完整的讨论。
数量曲率一般记为 S(其它记法有 Sc, R),定义为关于度量的里奇曲率张量的迹:
![{\displaystyle S={\mbox{tr}}_{g}\,\operatorname {Ric} \ .}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6a9c1515292029c745c28e24e6843a71d453f68)
这个迹和度量相关,因为里奇张量是一个 (0,2) 型张量;必须将指标上升得到一个 (1,1) 型张量才能取迹。在局部坐标中我们可以写成
![{\displaystyle S=g^{ij}R_{ij}\ ,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86473da921dadb4b07fd30c5d2a2e0722aaae5a4)
这里
![{\displaystyle \operatorname {Ric} =R_{ij}\,dx^{i}\otimes dx^{j}\ .}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15574df025b78d3b0c34417eadaf7e766797ccdc)
给了一个坐标系与一个度量张量,数量曲率可以表示为:
![{\displaystyle S=g^{ab}(\Gamma _{ab,c}^{c}-\Gamma _{ac,b}^{c}+\Gamma _{ab}^{c}\Gamma _{cd}^{d}-\Gamma _{ac}^{d}\Gamma _{bd}^{c})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c201e68de1d812fe944ea3cc4177ad91c316e62)
这里
是度量的克里斯托费尔符号。
不像黎曼曲率张量或里奇张量可以对任何仿射联络自然地定义,数量曲率只在黎曼几何存在;其定义与度量密不可分。