微分代数(英語:Differential algebra)是代数学的一个分支,在代数中装备一个导子就可以得到微分代数。此外,在数学中,微分环、微分域和微分代数是环、域、代数装备一个导子,一个满足莱布尼兹乘积法则的一元函数。微分域的一个自然例子是复数域上的单变元有理函数 C(t),其导子是关于 t 的微分。
微分环
一个微分环 R 是装备一个或多个导子的环
![{\displaystyle \partial :R\to R}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/885c27e110498a1863ed3e576631dfbb0c832d79)
使得每个导子满足莱布尼兹乘积法则:
![{\displaystyle \partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2}),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f78be53cedbce6c5c77d68db7387955e557fb44)
对任何
。注意环可能不交换,从而稍微标准的交换环情形的乘积法则 d(xy) = xdy + ydx 形式可能不成立。如果
是环上的乘法,乘积法则是恒等式
![{\displaystyle \partial \circ M=M\circ (\partial \otimes \operatorname {id} )+M\circ (\operatorname {id} \otimes \partial ).\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c8698fa46339273e47cd5f981ed12d64e42459f)
这里
表示函数将二元组
映到二元组
。
微分域
一个微分域是带有一个导子的域 K。微分域 DF 的理论,由通常域公理与另外关于导子的两个公理。和上面一样,导子在域的元素上必须服从乘积法则,或莱布尼兹法则,这是导子称为导子的原因。即对域中任何两个元素 u 与 v 有
![{\displaystyle \partial (uv)=u\,\partial v+v\,\partial u,\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45d6bc6cf77d35154de6b820fa38fa534121b155)
由于域上的乘法可交换。导子也必须对域加法有分配律
![{\displaystyle \partial (u+v)=\partial u+\partial v\ .\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8cece102ac2424145a5eaef6bbed4907e3e9596)
如果 K 是一个微分域则常数域
。
微分代数
域 K 上一个微分代数是一个 K-代数 A,其中的导子与域可交换。即对所有
与
有
![{\displaystyle \partial (kx)=k\partial x.\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1398ac8045ee959c8094cabafbbe51ea5ff1239)
在不用指标记法中,如果
是定义了环上数量乘法的环同态,则有
![{\displaystyle \partial \circ M\circ (\eta \times \operatorname {Id} )=M\circ (\eta \times \partial ).\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc1ed9c82ed70ffb14aa1c0b1048ab36f901b204)
同上导子对代数乘法必须服从莱布尼兹法则,以及对加法线性。从而,对所有
与
有
![{\displaystyle \partial (xy)=(\partial x)y+x(\partial y),\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/370c79774aac038985f11f36c8740e24876ae658)
以及
![{\displaystyle \partial (ax+by)=a\,\partial x+b\,\partial y.\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca1b5e437db0636a927ab8b54ab5fadaea0374cc)
李代数上的导子
李代数
上一个导子是一个线性
满足莱布尼兹法则:
![{\displaystyle D([a,b])=[a,D(b)]+[D(a),b]\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/054ea9f68262a9d833db9e0275e5fc95d2b8fbf0)
对任何
是
上一个导子,这由雅可比恒等式可得。任何这样的导子称为内导子。
例
如果
有单位,则 ∂(1) = 0 这是因为 ∂(1) = ∂(1 × 1) = ∂(1) + ∂(1)。例如,在特征零的微分域中,有理数总是常数域的子域。
任何域可以简单地理解为一个常数微分域。
域 Q(t) 具有惟一的结构成为一个微分域,由令 ∂(t) = 1 确定:域公理与导子的公理奇异保证导子是关于 t 的导数。例如,由乘法与莱布尼兹法则的交换性有 ∂(u2) = u ∂(u) + ∂(u)u= 2u∂(u)。
微分域 Q(t) 对微分方程
![{\displaystyle \partial (u)=u}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44727db8463240c2c140bbba678535f5e9bf8d52)
没有解。但扩充成包括函数 et 的更大的微分域,则这个方程有解。对任何微分方程系统有解的微分域称为微分闭域。这样的域存在,尽管它们不是作为代数或几何对象自然出现的。任何微分域(有界基數)嵌入一个大微分闭域。微分域是微分伽罗瓦理论中的研究对象。
自然出现的导子例子是偏导数、李导数、Pincherle导数与关于这个代数中一个元素的交换子。所有这些例子是密切联系的,导子的概念将它们统一起来。
伪微分算子环
微分环和微分域经常通过研究它们上面的伪微分算子来研究。
这是环
![{\displaystyle R((\xi ^{-1}))=\left\{\sum _{n<\infty }r_{n}\xi ^{n}|r_{n}\in R\right\}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dcce77196a6e738f473a0d167b2bff3f4274005)
这个环上的乘法定义为
![{\displaystyle (r\xi ^{m})(s\xi ^{n})=\sum _{k=0}^{m}r(\partial ^{k}s){m \choose k}\xi ^{m+n-k}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0af38a241f97f4f02fff8e2397b4b3616a3a434a)
这里
是二项式系数。注意到恒等式
![{\displaystyle \xi ^{-1}r=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(\partial ^{n}r)\xi ^{-1-n}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f36e48080ace6fc3f261d33eae1b49d190c2069)
这里利用了恒等式
![{\displaystyle {-1 \choose n}=(-1)^{n}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7dca16ba17e6ac65dffa2c135ec19423ac3c397)
与
![{\displaystyle r\xi ^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }\xi ^{-1-n}(\partial ^{n}r).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/482caed37187b9cfd3a1db1f013550432ec609d7)
另见
- 微分伽罗瓦定理
- 凯勒微分
- 微分闭域
- D-模是有多个微分算子作用在它上面的代数结构。
- 微分分次代数是附加分次的一个微分代数。
- 算术导数
参考文献
- Buium, Differential Algebra and Diophantine Geometry, Hermann (1994).
- I. Kaplansky, Differential Algebra, Hermann (1957).
- E. Kolchin, Differential Algebra and Algebraic Groups, 1973
- D. Marker, Model theory of differential fields, Model theory of fields, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlag (1996).
- A. Magid, Lectures on Differential Galois Theory, American Math. Soc., 1994
外部链接