提示:此条目页的主题不是
导子。
在同調代數中,阿貝爾範疇間的某類函子可以「求導」,以獲得相應的導出函子。此概念可以融貫數學中許多領域裡的具體構造。
對於逆變函子也能定義導出函子,此時的導出函子也是逆變函子。較有系統的方法是利用反範疇的概念。
對於右導出函子的情形,任一短正合序列
給出長正合序列
![{\displaystyle \cdots \to R^{i-1}F(C)\to R^{i}F(A)\to R^{i}F(B)\to R^{i}F(C)\to R^{i+1}F(A)\to \cdots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/613d7d7162f17a2d07ea047b1a2c0732aac76227)
對於左導出函子,相應的長正合序列形如
![{\displaystyle \cdots \to L^{i+1}G(C)\to L^{i}G(A)\to L^{i}G(B)\to L^{i}G(C)\to L^{i-1}G(C)\to \cdots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2107e1dc1f3d9473b38bc9503e70045b128aa6ea)
此外,這些長正合序列在下述意義下是「自然」的:
- 短正合列之間的態射導出長正合序列間的態射。
- 函子間的自然變換導出長正合序列尖的態射。
這些性質是蛇引理的推論。
- 層上同調:對拓撲空間
,考慮其上的阿貝爾群層構成的範疇,它有充足的內射元。整體截面函子
是左正合函子,相應的右導出函子即層上同調函子
。
- 平展上同調:平展上同調用於概形上的另一種上同調理論。
- Ext函子:設
為環,考慮
-模範疇,它有充足的內射元及射影元。對任一
-模
,函子
為左正合的,其右導出函子記為
。
- Tor函子:同樣考慮
-模範疇,對任一
-模
,函子
為右正合的,其左導出函子記為
。
- 群上同調:設
為群。所謂
-模是指被
作用的阿貝爾群,
-模範疇可以理解為
-模範疇。對任一
-模
,定義
,這是一個左正合函子,其右導出函子即群上同調函子
。
- Weibel, Charles A., An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. xiv+450 pp. ISBN 0-521-43500-5; 0-521-55987-1