子環

設(R,+,·)為环，若S是R的一個非空子集，且(S,+,·)也是環，則稱(S,+,·)為(R,+,·)的子環（subring）。

判定

設(R,+,·)為环，S是R的一個非空子集。(S,+,·)是(R,+,·)的子環，當且僅當：^[1]

1. R的零元素也在S裡
2. ∀a,b∈S, a+b∈S
3. ∀a∈S, -a∈S
4. ∀a,b∈S, ab∈S

或等價地：

1. ∀a,b∈S, a-b∈S
2. ∀a,b∈S, ab∈S

也就是說：

1. S和+構成一個群
2. ∀a,b∈S, ab∈S

如果要求環還包含乘法單位元，那麼就要在上述條件加上1∈S這一條。

參考資料

1. Frederick Michael Hall. An Introduction to Abstract Algebra. CUP Archive. 1966: 77 [2014-12-28]. （原始内容存档于2019-05-02）.