埃爾米特小波由埃爾米特多項式組成,第n個埃爾米特小波來自於高斯函數的第n階導數。
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物理學上的埃爾米特多項式定義為
![{\displaystyle \ \ H_{m}(x)=(-1)^{m}e^{x^{2}}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}e^{-x^{2}}\,\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b12b319c3077fdcdb1ddfc328ee6c2ec0a588ce)
可以用遞迴方式得到:
![{\displaystyle H_{0}(x)=1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04fafa99666c4042ad1c8cd34a590c11204066f2)
![{\displaystyle H_{1}(x)=2x}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55b10fadd301caa4fabe887de3173dbd6c0e7333)
![{\displaystyle H_{m+1}(x)=2xH_{m}(x)-2mH_{m-1}(x),m=1,2,3....}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b950d4e2aa87f75d19fb9ec8fe2458daa25591a)
連續小波轉換的母小波可以表示成
,其中a是膨脹參數,b是位移, a,b∈R且 a≠0
若
,
,則變成具有離散參數的小波轉換:
,其中k,n∈R
埃爾米特小波的母小波定義為
,包含四個參數,其中k是任意正整數,影響母小波的縮放,
影響母小波的平移位置,m是埃爾米特多項式的階層,其定義在[0,1),數學式如下:
![{\displaystyle \psi _{n,m}(x)={\begin{cases}2^{k \over 2}{\sqrt {1 \over {n!2^{n}{\sqrt {\pi }}}}}H_{m}(2^{k}x-2n+1)\ \ ,{\frac {n-1}{2^{k-1}}}\leq x<{\frac {n}{2^{k-1}}}\\0\ \ ,otherwise\end{cases}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f21903886078d82713ce596eb60f0fe76ddb293e)