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集合中的特定元素,在以二元运算与其他元素结合时不改变其他元素 来自维基百科,自由的百科全书
單位元(unit element[1])也称恒等元(identity element)、中立元(neutral element)、恒元,是集合裏的一種特殊元素,與該集合裏的二元運算有關。單位元和其他元素結合時,並不會改變那些元素。單位元在群和其他相關概念中都有使用。
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設為一帶有一二元運算的集合(稱為原群)。若內有一元素對S內所有元素a满足,則被稱為左單位元;若满足,则稱為右單位元。而若同時為左單位元及右單位元,則稱為雙邊單位元,又簡稱為單位元。
對應加法的單位元稱為加法單位元(通常被標為0),而對應乘法的單位元則稱為乘法單位元(通常被標為1)。這一區分大多被用在有兩個二元運算的集合上,比如環。
如最後一個例子所示,有多個左單位元是可能的,且事實上,每一個元素都可以是左單位元。同樣地,右單位元也一樣。但若同時存在有右單位元和左單位元,則它們會相同,且仅存在一個雙邊單位元。要證明這個,設為左單位元且為右單位元,則。特別的,不存在兩個以上的單位元。若有兩個單位元和,則必同時等於和。
一個代數也可能沒有單位元。最常见的例子為向量的內積和外積。前者缺乏單位元的原因在於,相乘的兩個元素都會是向量,但乘積卻會是個純量。而外積缺乏單位元的原因則在於,任一非零外積的方向必和相乘的兩個向量相正交,因此不可能得出一個和原向量指向同方向的外積向量。
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