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逻辑与
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在逻辑和数学中,逻辑合取或逻辑与或且是一个二元逻辑運算符。如果其两个变量的真值都为“真”,其结果为“真”,否则其结果为“假”。[1][2][3]
相关名称
- 基本符号:
- 英文名:logical conjunction
- 中文名:逻辑与,合取,交集,按位与,逻辑乘,与门,...
- 命题逻辑中的二元连接词合取,是一个两元算子,集合论中的交集算子,二进制中的逻辑乘算子,按位与(Bitwise AND),逻辑门中的“与”门(AND gate),编程语言中的&或and运算符等等。
基本定义
- 逻辑与(logical conjunction)是两个逻辑变量的一种运算,经常是两个命题的运算。它满足:当且仅当其两个变量的真值都为真时,其结果为真。
- 逻辑与
是个二元算子,运算结果取值为真的条件是,当且仅当两个命题的取值都真时。命题是取值要么是真要么是假的二值语句,没有第三种取值,或说值域为{真,假}或是{T,F}或是{0,1}。未知真又未知假的语句是猜想;既真又假,既不真又不假的语句是悖论。
- 复合命题
,读作A合取B,在GCT逻辑中,也叫联言命题。也有称为合取命题的。
真值表定义
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Venn0001.svg/320px-Venn0001.svg.png)
A与B的真值表(也写作AB(逻辑学),A && B(计算机科学),或A
B(电子学))。
的真值表:
输入 | 输出 | |
真 | 真 | 真 |
真 | 假 | 假 |
假 | 真 | 假 |
假 | 假 | 假 |
推理規則
合成与分解规则
合取引入规则
合取引入规则(∧+)(conjunction introduction rule)或联言推理的合成式,是经典逻辑中简单且有效的论证形式。这个论证形式有两个前提,A和B,可以直观地推出他们的合取。
其形式如下:
- A,
- B.
- 因此A且B.
形式化为:
下面的例子是满足联言推理的合成式的论证:
- 小橘子是正妹。
- 小橘子是車神。
- 因此小橘子是正妹也是車神。
另一個例子如下:
- 1小于2
- 6大于5
- 因此,1小于2,而且6大于5。
還有一個例子如下:
- 有一些PSPACE問題不是NL問題
- 有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題
- 因此有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題,而且有一些PSPACE問題不是NL問題
合取消去规则
合取消去规则(∧-)(Conjunction elimination rule)或联言推理的分解式,是另一个在经典逻辑中简单且有效的论证形式。从任何合取式中都可以直观地推论出两个前提中的任意一个。
其形式如下:
- A且B。
- 因此A。
...或者,
- A且B.
- 因此B.
用逻辑运算符描述为,
形式化为:
或者,
例如:
或者
- 有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題,而且有一些PSPACE問題不是NL問題
- 因此有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題
另一個例子如下:
- 1小于2,而且6大于5。
- 因此1小于2。
或者
- 1小于2,而且6大于5。
- 因此6大于5。
還有一個例子如下:
- 小橘子是正妹也是車神。
- 因此小橘子是正妹。
或者
- 小橘子是正妹也是車神。
- 因此小橘子是車神。
性质
逻辑与满足以下性质:
- 结合律:
- 交换律:
- 分配律:
- 幂等律:
- 单调性:
- 保真性: 所有变量的真值皆为“真”的命题在逻辑与运算后的结果为真。
- 保假性: 所有变量的真值皆为“假”的命题在逻辑与运算后的结果为假。
如果用二进制来表达真(1)和假(0),逻辑与运算与算术乘法运算一致。
计算机科学中的运用
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/41/AND_Gate_diagram.svg/640px-AND_Gate_diagram.svg.png)
位运算
逻辑与常在位运算中使用,比如:
- 0 and 0 = 0
- 0 and 1 = 0
- 1 and 0 = 0
- 1 and 1 = 1
- 1100 and 1010 = 1000
编程中的使用
在高等计算机编程中,逻辑合取“与”通常由内置算符and或&号来表达。很多编程语言还提供与逻辑与相应的短路求值控制结构。
布尔“与”也在SQL的运算符中使用。有些数据库区分大小写,需要"AND"符号。
在计算机科学中,AND运算符可以用来构造位屏蔽,以选择二进制序列的一部分。比如10011101 AND 00001000 = 00001000
用来取二进制序列的第五位。
交集运算
集合论中的交运算是用逻辑与来定义的:x ∈ A ∩ B当且仅当(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)。因此逻辑与有很多与交集运算相同的性质,诸如结合律,交换律,分配律,及德·摩根定律。
註釋
- Comprehensive List of Logic Symbols. Math Vault. 2020-04-06 [2020-09-02]. (原始内容存档于2021-05-13) (美国英语).
- Conjunction, Negation, and Disjunction. philosophy.lander.edu. [2020-09-02]. (原始内容存档于2021-04-21).
- 2.2: Conjunctions and Disjunctions. Mathematics LibreTexts. 2019-08-13 [2020-09-02]. (原始内容存档于2020-11-05) (英语).
参见
相关网页
- Wolfram Mathematics Conjunction (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- All Math Words Encyclopedia Conjunction (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Hazewinkel, Michiel (编), Conjunction, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Property and truth table of AND propositions. (原始内容存档于May 6, 2017).
template:Common logical symbols(英语:template:Common logical symbols)