在数学中,测度是一種將几何空間的度量(长度、面积、体积)和其他常见概念(如大小、质量和事件的概率)廣義化後產生的概念。传统的黎曼积分是在区间上进行的,為了把积分推广到更一般的集合上,人們就发展出测度的概念。一个特别重要的例子是勒贝格测度,它從 维欧式空间 出發,概括了傳統长度、面积和体积等等的概念。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Measure_illustration.png/320px-Measure_illustration.png)
研究測度的學問被統稱為测度论,因為指定的數值通常是非負实数,所以测度论通常會被視為实分析的一个分支,它在数学分析和概率论有重要的地位。
正式定义
直觀上,測度是「體積」的推廣;因為空集合的「體積」當然為零,而且互相獨立的一群(可數個)物體,總「體積」當然要是所有物體「體積」直接加總(的極限)。而要定義「體積」,必須先要決定怎樣的一群子集合,是「可以測量的」,詳細請見σ-代數。
如果將 的值域擴展到複數,也就是說 ,那 會被進一步稱為複數測度。[1]
定義的分歧
若照著上述定義,根據可数可加性,不少母集合本身的測度值會變成无穷大(如對 本身取勒贝格测度),所以實際上不存在。但某些書籍[2]會形式上將无穷大視為一個數,而容許測度取值為無窮大;這樣定義的書籍,會把只容許有限实数值的測度稱為(非負)有限測度。但這樣"定義",會造成可數可加性與數列收斂的定義產生矛盾。
所以要延續體積是一種"度量"的這種直觀概念(也就是嚴謹的定義勒贝格测度),那就必須把σ-代數換成條件比較寬鬆的半集合環,然後以此為基礎去定義一個對應到"體積"的前測度。
更進一步的,如果對測度空間 來說,母集合 可表示為 內的某可測集合序列 的并集:
且 只容許取有限值,則 會被進一步的稱為(非負)σ-有限测度。
性质
单调性
测度的单调性: 若和为可测集,而且,则。
可数个可测集的并集的测度
若为可测集(不必是两两不交的),则集合的并集是可测的,且有如下不等式(「次可列可加性」):
如果还满足并且对于所有的,⊆,则如下极限式成立:
可数个可测集的交集的测度
若为可测集,并且对于所有的,⊆,则的交集是可测的。进一步说,如果至少一个的测度有限,则有极限:
如若不假设至少一个的测度有限,则上述性质一般不成立。例如对于每一个,令
这裡,全部集合都具有无限测度,但它们的交集是空集。
完备性
定義 —
是测度空间,若 且 ,则 被称为零测集(null set )。
若所有零测集的子集都可测,则 称为完备的(complete)。
直觀上,因為測度的單調性,只要包含於零測集的集合,也「應該」是零測集,完備測度的定義體現了這個直觀的想法。更進一步的,任意测度可以按如下的定理擴展为完备测度:[3]
證明 |
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例子
下列是一些测度的例子(顺序与重要性无关)。
- 计数测度 定义为的「元素个数」。
- 一维勒贝格测度是定义在的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、平移不变的、满足的唯一测度。
- Circular angle测度是旋转不变的。
- 局部紧拓扑群上的哈尔测度是勒贝格测度的一种推广,而且也有类似的刻划。
- 恆零测度定义为,对任意的。
- 每一个概率空间都有一个测度,它对全空间取值为1(于是其值全部落到单位区间[0,1]中)。这就是所谓概率测度。见概率论公理。
其它例子,包括:狄拉克测度、波莱尔测度、若尔当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度。
相关条目
- 外测度(Outer measure)
- 幾乎處處(Almost everywhere)
- 勒贝格测度(Lebesgue measure)
- 勒貝格積分
- 法圖引理(Fatou's lemma)
- 富比尼定理(Fubini's theorem)
- 可測基數
参考文献
- Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1984: 124–124.
- Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1984: 17–17.
- Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1974: 29-29. ISBN 0070542333.
- R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
- D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin.
- Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.
- M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
- Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.
外部链接
- Hazewinkel, Michiel (编), Measure, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Tutorial: Measure Theory for Dummies(为初学者准备的测度论教学) (页面存档备份,存于互联网档案馆)
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