切比雪夫第一及第二函數彼此相關,要驗證這點,可先將切比雪夫第二函數寫成如下形式:
![{\displaystyle \psi (x)=\sum _{p\leq x}k\log p}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b13acdec2698b7719326d434d0f1411aacde5609)
其中k是使得
的唯一整數,而k的值可參見A206722。一個更直接的關係如下:
![{\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1566a1130f0faadeb9a32958a6bc74538429f931)
注意的是和的後半段只有有限多個非零數值,而這是因為有下式之故:
![{\displaystyle \vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}=0\quad {\text{for}}\quad n>\log _{2}x={\frac {\log x}{\log 2}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e610a437b8baf72904d5b5f06925ac5588f6a91)
切比雪夫第二函數是從1到n所有數的最小公倍數的自然對數:
![{\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1916fa8ca96e5c9229db994d57202b2fce5ea94b)
對於n而言,lcm(1, 2, ..., n)的值可參見A003418。
以下定理將
及
這兩個分數給聯繫起來。[3]
定理:若
則有
![{\displaystyle 0\leq {\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\leq {\frac {(\log x)^{2}}{2{\sqrt {x}}\log 2}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e89ab3334fc973e5ecf9cf91da5b3b62e3ecebe2)
注意:從此不等式可推出
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\!\left({\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\right)\!=0.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7a52e9c7571cd0902b92befdc60899cd02efcef)
換句話說,若
或
其中一個趨近某個極限,則另一個也是如此,也就是兩者的極限相等。
證明:由於
,因此有
![{\displaystyle 0\leq \psi (x)-\vartheta (x)=\sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n}).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da067fe7b25c074f25611d87e98d9042d69acf64)
而由
的定義,可得以下明顯的不等式:
![{\displaystyle \vartheta (x)\leq \sum _{p\leq x}\log x\leq x\log x}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/179ef61df1f90986bcd02294b3280ef80aacdb4e)
因此有
![{\displaystyle {\begin{aligned}0\leq \psi (x)-\vartheta (x)&\leq \sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}x^{1/n}\log(x^{1/n})\\&\leq (\log _{2}x){\sqrt {x}}\log {\sqrt {x}}\\&={\frac {\log x}{\log 2}}{\frac {\sqrt {x}}{2}}\log x\\&={\frac {{\sqrt {x}}\,(\log x)^{2}}{2\log 2}}.\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfe62604496d0cc70997861f297d4bf82b854875)
最後,將此不等式兩邊除以
,即可得定理的不等式。
對於切比雪夫函數,有以下已知的界線。其中pk是第k個質數,也就是p1 = 2、p2 = 3等等:[1][2]
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (p_{k})&\geq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2.050735}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 10^{11},\\[8px]\vartheta (p_{k})&\leq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 198,\\[8px]|\vartheta (x)-x|&\leq 0.006788\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq 10\,544\,111,\\[8px]|\psi (x)-x|&\leq 0.006409\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq e^{22},\\[8px]0.9999{\sqrt {x}}&<\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt[{3}]{x}}&&{\text{for }}x\geq 121.\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7301be23d04a6fb8d72a32bdccccb1cc2f9596f)
此外,若黎曼猜想成立,則對於任意的
而言,有以下關係式:
![{\displaystyle {\begin{aligned}|\vartheta (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\\|\psi (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6daba7dfd9a169cb1287c469092ee70fd4184fe5)
對任意的
而言,切比雪夫第一函數
及第二函數
有以下的上界:[4] [3]
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (x)&<1.000028x\\\psi (x)&<1.03883x\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/306b2d5d60af21a6f84fc0c4da5419e427fc1cfb)
對於1.03883這常數的解釋,可見A206431的說明。
1895年,漢斯·馮·曼戈爾特證明了[4]
有以下作為黎曼ζ函數非平凡零點和的解析解:
![{\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}-{\tfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/898a00b652dbbafd14be45de7e152098fb3fa51b)
其中ζ′ (0)/ζ (0)的數值為log(2π)、ρ遍歷黎曼ζ函數的所有非平凡零點,而ψ0是一個與ψ類似的函數,但差別是其在跳躍不連續點(質數的冪)的取值為其左邊與右邊值的中間:
![{\displaystyle \psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\!\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\tfrac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\[5px]\psi (x)&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9e799e6e3a8daf7e8f40607109b76aba621e985)
就自然對數的泰勒展開式而言,解析解的最後一項可理解為xω/ω對黎曼ζ函數平凡零點ω = −2, −4, −6, ...的求和。也就是說,
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-2k}}{-2k}}={\tfrac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4daea393ef9db26fbf81681f122469e7e4369af0)
類似地,此公式第一項x = x1/1對應到黎曼ζ函數在1的單純極點。這部分作為極點而非零點的事實,說明了項的變號。
一個由埃哈德·施密特證明的結果指稱,對於某個特定的正常數K,存在有無限多個正整數x使得
![{\displaystyle \psi (x)-x<-K{\sqrt {x}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81dc7cca021574896fabdd77f611713163d783f3)
同時有無限多個正整數x使得
[5][6]
使用小o符號,可將上式重述為
![{\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\right).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1382edbe8684f3610a75f16c766ec1b592b96e6)
哈代與李特爾伍德[7]證明了一個更強的結果,表述如下:
![{\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\log \log \log x\right).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b579ef187d4523d0999c76e2c0974e1fc25610a4)
也就是說有無限多的正整數x,使得
與x之間的差的絕對值超過
。
切比雪夫第一函數也是x的質數階乘x #的對數:
![{\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p=\log \prod _{p\leq x}p=\log \left(x\#\right).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e15ceb51adf31c0cee64179d5e5ace53158233ff)
這說明了質數階乘x #非病態地等於e(1 + o(1))x,其中o是小o符號(見大O符號一文的說明),而這點與質數定理共同確立了pn #的非病態行為。
切比雪夫函數可透過下式與與質數計數函數發生關係。定義
![{\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f09f36af683ce08ee290af00b923f4c2a74020)
那麼有
![{\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\int _{n}^{x}{\frac {dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\int _{2}^{x}{\frac {\psi (t)\,dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {\psi (x)}{\log x}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6427253d033f913032ce0ba2afec714d14a2dd5)
從Π到質數計數函數π間的轉換可由下式表示:
![{\displaystyle \Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi \left({\sqrt {x}}\,\right)+{\tfrac {1}{3}}\pi \left({\sqrt[{3}]{x}}\,\right)+\cdots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/366ea3365a925e84a1dd8555ba2d8d27aac1207e)
由於很明顯地,有π (x) ≤ x之故,因此為了估計的目的,最後的關係式可重述如下:
![{\displaystyle \pi (x)=\Pi (x)+O\left({\sqrt {x}}\,\right).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e847829ac41860a74018de325ce5c368249ceb)
黎曼猜想指稱說黎曼ζ函數任意的非顯著零點的實部的值為1/2。在這種狀況下,有|x ρ| = √x,且可證明說
![{\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=O\!\left({\sqrt {x}}\,\log ^{2}x\right).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7d45059a99d4d078acdb67cde090c9bf938be6e)
由上式可推得
![{\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\!\left({\sqrt {x}}\,\log x\right).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3fe97cec4c334d7f6ad8a45ea39133ad0f9c5a6)
平滑化切比雪夫函數定義如下:
![{\displaystyle \psi _{1}(x)=\int _{0}^{x}\psi (t)\,dt.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d9a64670c4d85490e2555d95093a201534b158)
顯然有
Apostol, Tom M. Introduction to Analytic Number Theory. Springer. 2010: 75–76.
- ^ Pierre Dusart, "Estimates of some functions over primes without R.H.".
- ^ Pierre Dusart, "Sharper bounds for ψ, θ, π, pk", Rapport de recherche no. 1998-06, Université de Limoges. An abbreviated version appeared as "The kth prime is greater than k(log k + log log k − 1) for k ≥ 2", Mathematics of Computation, Vol. 68, No. 225 (1999), pp. 411–415.
- ^ Erhard Schmidt, "Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze", Mathematische Annalen, 57 (1903), pp. 195–204.
- ^ G .H. Hardy and J. E. Littlewood, "Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes", Acta Mathematica, 41 (1916) pp. 119–196.
- ^ Davenport, Harold (2000). 可見於《Multiplicative Number Theory (页面存档备份,存于互联网档案馆)》一書。 Springer. p. 104. ISBN 0-387-95097-4. Google Book Search.