凸函數的某些性質,多元情況的敍述與一元情況同樣簡單。此種性質,可能僅於多元情況列舉,恕不在一元情況贅述。
函数(蓝色)是凸的,当且仅当其上方的区域(绿色)是一个凸集。
- 設
是一元實函數,定義域為區間。考慮割線斜率
則函數
是對稱函數,即關於
。
為凸,當且僅當對每個固定的
,皆有
關於
單調不減(或由對稱性,可將此句中
互換)。此刻劃有助證明以下的結果。
- 若一元凸函数
定义在开区间
內,則在C内连续,且處處有左側及右側的單邊導數。如此定義的兩個單邊導函數,皆為單調不減。由此推出,除可数个点外,
在其他点皆可微(不過不可導的點組成的集合,仍有可能稠密)。如果
是闭区间,那么
有可能在
的端点不连续,見例子。
- 一元可微函数在区间上是凸的,当且仅当函数位于所有它的切线的上方:[3]:69对于区间内的所有
和
,都有
特别地,如果
,則上式化為
,故
是
的最小值。
- 一元可微函数在某个区间上是凸的,当且仅当它的导数在该区间上单调不减。若一元函數既凸又可導,則其導數也連續。
- 一元二阶可微的函数在区间上是凸的,当且仅当它的二阶导数是非负的;这是判断某个函数是否凸的實用方法。直觀地,二階可導的凸函數「向上彎」,而不會屈向另一邊(即無拐点)。如果它的二阶导数是正数,那么函数就是严格凸的,但反过来不成立。例如,
的二阶导数是
,当
时为零,但
是严格凸的。
- 此性質的條件「二階導數非負」與前一個性質的條件「導數單調不減」有差異。若
在區間
非負,則的確
在
單調不減。反之則不然,因為可能有
在
單調不減,但在某點不可導,即
在
中某點無定義。
- 若
為一元凸函數,且
,則
在正數集內為超可加函數,即
對任意正實數
成立。
更一般地,多元二次可微的连续函数在凸集上是凸的,当且仅当它的黑塞矩阵在凸集的内部是半正定的。
凸函数的任何极小值也是最小值。严格凸函数最多有一个最小值。
对于凸函数f,水平子集{x | f(x) < a}和{x | f(x) ≤ a}(a ∈ R)是凸集。然而,水平子集是凸集的函数不一定是凸函数;这样的函数称为拟凸函数。
延森不等式对于每一个凸函数f都成立。如果
是一个随机变量,在f的定义域内取值,那么
(在这里,
表示数学期望。)
- 如果
和
是凸函數,那麼
和
也是凸函數。
- 如果
和
是凸函數,且
遞增,那麼
是凸函數。
- 凸性在仿射映射下不變:也就是說,如果
是凸函數(
),那麼
也是凸函數,其中![{\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times m},\;b\in \mathbb {R} ^{n}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02e5c6ce680018f89270300dce49a1b6fcaceecf)
- 如果
在
內是凸函數,且
是一個凸的非空集,那麼
在
內是凸函數,只要對於某個
,有
。
- 函数
处处有
,因此f是一个(严格的)凸函数。
- 绝对值函数
是凸函数,虽然它在点x = 0没有导数。
- 当
时,函数
是凸函数。
- 定义域为[0,1]的函数f,定义为f(0)=f(1)=1,当0<x<1时f(x)=0,是凸函数;它在开区间(0,1)内连续,但在0和1不连续。
- 函数
的二阶导数为
,因此它在x ≥ 0的集合上是凸函数,在x ≤ 0的集合上是凹函数。
- 每一个在
内取值的线性变换都是凸函数,但不是严格凸函数,因为如果f是线性函数,那么
。如果将“凸”替换为“凹”,该命题也成立。
- 每一个在
内取值的仿射变换,也就是说,每一个形如
的函数,既是凸函数又是凹函数。
- 每一个范数都是凸函数,这是由于三角不等式。
- 如果
是凸函数,那么当
时,
是凸函数。
和
为单调递增但非凸的函数。
- 函数f(x) = 1/x2,f(0)=+∞,在区间(0,+∞)内是凸函数,在区间(-∞,0)内也是凸函数,但是在区间(-∞,+∞)内不是凸函数,这是由于x = 0处的奇点。
- Moon, Todd. Tutorial: Convexity and Jensen's inequality. [2008-09-04]. (原始内容存档于2008-04-20).
- Rockafellar, R. T. Convex analysis. Princeton: Princeton University Press. 1970.
- Luenberger, David. Linear and Nonlinear Programming. Addison-Wesley. 1984.
- Luenberger, David. Optimization by Vector Space Methods. Wiley & Sons. 1969.
- Bertsekas, Dimitri. Convex Analysis and Optimization. Athena Scientific. 2003.
- Thomson, Brian. Symmetric Properties of Real Functions. CRC Press. 1994.
- Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste, and Lemaréchal, Claude. (2004). Fundamentals of Convex analysis. Berlin: Springer.
- Krasnosel'skii M.A., Rutickii Ya.B. Convex Functions and Orlicz Spaces. Groningen: P.Noordhoff Ltd. 1961.
- Borwein, Jonathan, and Lewis, Adrian. (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer.