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品质因数 (性能) 」。
品质因子 或Q因子 是物理 及工程 中的無因次 參數,是表示振子 阻尼 性质的物理量[ 1] ,也可表示振子的共振頻率 相對於頻寬 的大小[ 2] ,
高Q因子表示振子能量損失的速率較慢,振動可持續較長的時間,例如一個單擺 在空氣中運動,其Q因子較高,而在油中運動的單擺Q因子較低。高Q因子的振子一般其阻尼也較小。
一阻尼諧振子的頻寬 ,
Δ
f
{\displaystyle \Delta f}
可以用頻率和能量的圖來表示。阻尼諧振子(或濾波器)的Q因子為
f
0
/
Δ
f
{\displaystyle f_{0}/\Delta f}
。Q因子越大,其波峰高度會越高,而其寬度會越窄
Q因子較高的振子在共振 時,在共振頻率附近的振幅較大,但會產生的共振的頻率範圍比較小,此頻率範圍可以稱為頻寬 。例如一台無線電接收器內的調諧電路 Q因子較高,要調整接收器對準一特定頻率會比較困難,但其選擇性 較好,在過濾頻譜上鄰近電台的訊號上也有較佳的效果。Q因子較高的振子會產生共振的頻率範圍較小,也比較穩定。
系統的Q因子可能會隨著應用場合及需求的不同而有大幅的差異。強調阻尼特性的系統(例如防止門突然關閉的阻尼器)其Q因子為1 ⁄2 ,而時鐘、雷射或是其他需要強烈共振或是要求頻率穩定性的系統其Q因子也較高。音叉 的Q因子大約為1000,原子鐘 、加速器中的超導射頻 或是光學共振腔 的Q因子可以到1011 [ 3] 甚至更高[ 4] 。
Q因子的概念是來自電子工程中,評量一調諧電路或其他振子的「品質」。
Q因子可定義為在一系統的共振頻率 下,當信號振幅 不隨時間變化時,系統儲存能量和每個週期外界所提供能量的比例(此時系統儲存能量也不隨時間變化):
Q
=
2
π
×
Energy Stored
Energy dissipated per cycle
=
2
π
f
r
×
Energy Stored
Power Loss
.
{\displaystyle Q=2\pi \times {\frac {\mbox{Energy Stored}}{\mbox{Energy dissipated per cycle}}}=2\pi f_{r}\times {\frac {\mbox{Energy Stored}}{\mbox{Power Loss}}}.\,}
大部份的共振系統都可以用二階的微分方程表示,Q因子中2π 的係數,使Q因子可以表示成只和二階微分方程係數有關的較簡單型式。在電機系統中,能量會儲存在理想無損失的電感 及電容 中,損失的能量則是每個週期由電阻損失能量的總和。力學系統儲存的能量是該時間動能 及位能 的和,損失的能量則是因為摩擦力或阻力所消耗的能量。
針對高Q因子的系統,也可以用下式計算的Q因子,在數學上也是準確的:
Q
=
f
r
Δ
f
=
ω
r
Δ
ω
,
{\displaystyle Q={\frac {f_{r}}{\Delta f}}={\frac {\omega _{r}}{\Delta \omega }},\,}
其中fr 為共振頻率,Δf 為頻寬,ωr = 2πfr 是以角頻率 表示的共振頻率,Δω 是以角頻率 表示的頻寬
在像電感等儲能元件的規格中,會用到和頻率有關的Q因子,其定義如下[ 5] :
Q
(
ω
)
=
ω
×
Maximum Energy Stored
Power Loss
,
{\displaystyle Q(\omega )=\omega \times {\frac {\mbox{Maximum Energy Stored}}{\mbox{Power Loss}}},\,}
其中ω 是計算儲存能量和功率損失時的角頻率。若電路中只有一個儲能元件(電感或是電容),也可用上式來定義Q因子,此時Q因子會等於无功功率 相對有功功率 的比例。
Q因子可決定一個簡單阻尼諧振子 的量化特性(有關數學的細節及不同系統的行為,請參考諧振子 及线性时不变系统理论 等條目)。
低Q因子的系統(Q < ½)是過阻尼系統。過阻尼系統不會振盪,當偏離穩態輸出平衡點時,會以指數衰減 的方式,漸近式的回到穩態輸出。其冲激响应 是二個不同速度的指數衰減函數的和。當Q因子減少時,衰減較慢的響應函數其影響會變明顯,因此整個系統會變慢。一個Q因子很低的二階系統其步階響應 類似一階系統。
高Q因子的系統(Q > ½)是欠阻尼系統。欠阻尼系統在特定頻率的輸入下,其輸出會振盪,其振幅也會指數衰減。Q因子略高於½的系統可能會振盪一或二次。若Q因子提高,阻尼的效果也會降低。高品質的鐘在敲擊後可以長時間發出單一音調的聲音,沒有阻尼的諧振系統其Q因子是無限大,類似一個敲擊後可永遠發出聲音的鐘。若二階低通濾波器 有很高的Q因子,其步階響應一開始會快速上昇,在平衡點附近震盪,最後才收斂到穩態的值。
Q因子為½的系統是臨界阻尼系統。臨界阻尼系統和過阻尼系統一様不會震盪,也不會有过冲 的情形。臨界阻尼系統和欠阻尼系統一様,會對階躍 有快速的響應,臨界阻尼可以使系統在不过冲的條件下有最快的反應,實際的系統若要求更快的反應,一般會允許一定程度的过冲,若系統不允許过冲,可能會使反應時間放慢,以提供一定的安全係數 。
在負回授 系統中,閉回路系統的響應常常用二階系統來表示。設定開迴路系統的相位裕度 可以決定閉回路系統的Q因子,當相位裕度減少時,對應的二階閉回路系統振盪會變大,也就是Q因子提高。
單位增益的Sallen–Key拓扑结构 濾波器為臨界阻尼系統,Q因子為
1
/
2
{\displaystyle 1/2}
)[來源請求] 。
巴特沃斯滤波器 (有最平坦通帶頻率響應的的連續時間濾波器)為欠阻尼系統,Q因子為
1
/
2
{\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}
[ 6] 。
貝塞爾濾波器 (有最平坦群延遲 的連續時間濾波器)為欠阻尼系統,Q因子為
1
/
3
{\displaystyle 1/{\sqrt {3}}}
[來源請求] 。
根據物理學,Q因子等於
2
π
{\displaystyle 2\pi }
乘以系統儲存的總能量,除以單一周期損失的能量,也可以表示為系統儲存的總能量和單位弳度損失能量的比值。[ 7]
Q因子是無因次的參數,是比較系統振幅衰減的時間常數 和振盪週期後的結果。當Q因子數值較大時,Q因子可近似為系統從開始振盪起,一直到其能量剩下原來的
1
/
e
2
π
{\displaystyle 1/e^{2\pi }}
(約1/535或0.2%),中間歷經的振盪次數[ 8] 。
共振的頻寬可以用下式表示
Δ
f
=
f
0
Q
{\displaystyle \Delta f={\frac {f_{0}}{Q}}\,}
,
其中
f
0
{\displaystyle f_{0}}
為共振頻率 ,
Δ
f
{\displaystyle \Delta f}
為頻寬 ,也就是能量超過峰值能量一半以上的頻率範圍。
Q因子、阻尼比 ζ及衰減率 α之間有以下的關係[ 9]
ζ
=
1
2
Q
=
α
ω
0
.
{\displaystyle \zeta ={\frac {1}{2Q}}={\alpha \over \omega _{0}}.}
因此Q因子可表示為
Q
=
1
2
ζ
=
ω
0
2
α
,
{\displaystyle Q={\frac {1}{2\zeta }}={\omega _{0} \over 2\alpha },}
而指數衰減率可表示為
α
=
ζ
ω
0
=
ω
0
2
Q
.
{\displaystyle \alpha =\zeta \omega _{0}={\omega _{0} \over 2Q}.}
二階低通濾波器的響應函數可以用下式來表示[ 9]
H
(
s
)
=
ω
0
2
s
2
+
ω
0
Q
⏟
2
ζ
ω
0
=
2
α
s
+
ω
0
2
{\displaystyle H(s)={\frac {\omega _{0}^{2}}{s^{2}+\underbrace {\frac {\omega _{0}}{Q}} _{2\zeta \omega _{0}=2\alpha }s+\omega _{0}^{2}}}\,}
若此系統的
Q
>
0.5
{\displaystyle Q>0.5}
(欠阻尼系統),系統有二個共軛複數 極點,其實部 為
α
{\displaystyle \alpha }
。衰減參數
α
{\displaystyle \alpha }
表示其冲激响应 指數衰減 的速率。Q因子大表示其衰減率較慢,因此Q因子很大的系統可以持續振盪較長的時間。例如高Q因子的鐘,用鎚子敲擊後,其輸出近似純音 ,且可以維持很長的時間。
濾波器振幅增益的圖,其中標示頻寬為增益值為-3 dB的寬度,增益約為0.707倍,能量是峰值的一半。圖中的頻率軸可以是線性尺度或是對數尺度。
對電子共振系統而言,Q因子表示電阻 的影響,若針對機電共振系統(例如石英晶体谐振器 ),也包括摩擦力 的影響。
理想串聯RLC電路 的Q因子為:[ 10]
Q
=
1
R
L
C
=
ω
0
L
R
=
1
ω
0
R
C
{\displaystyle Q={\frac {1}{R}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}={\frac {\omega _{0}L}{R}}={\frac {1}{\omega _{0}RC}}}
其中
R
{\displaystyle R}
、
L
{\displaystyle L}
及
C
{\displaystyle C}
分別是電路的電阻 、電感 和電容 ,若電阻值越大,Q因子越小。
並聯RLC電路的Q因子恰為對應串聯電路Q因子的倒數:[ 11]
Q
=
R
C
L
=
R
ω
0
L
=
ω
0
R
C
{\displaystyle Q=R{\sqrt {\frac {C}{L}}}={\frac {R}{\omega _{0}L}}=\omega _{0}RC}
若將電阻、電感和電容並聯形成一電路,並聯電阻值越小,其阻尼的效果越大,因此Q因子越小。
若是電感和電容並聯的電路,而主要損失是電感內,和電感串聯的電阻R,其Q因子和串聯RLC電路相同,此時降低寄生電阻R可以提昇Q因子,也使頻寬縮小到需要的範圍內。
對於一個有阻尼的質量-彈簧系統,可以用Q因子表示簡化的黏滯 阻尼或阻力對系統的影響,其中的阻尼力(或阻力)和速度成正比。此系統的Q因子可以用下式表示:
Q
=
M
k
D
,
{\displaystyle Q={\frac {\sqrt {Mk}}{D}},\,}
其中M是質量,k是弹簧常数 ,而D是阻力係數,可用下式來定義:
F
damping
=
−
D
v
{\displaystyle F_{\text{damping}}=-Dv}
其中
F
damping
{\displaystyle F_{\text{damping}}}
是阻力,
v
{\displaystyle v}
是速度[ 13] 。
存档副本 (PDF) . [2012-03-31 ] . (原始内容存档 (PDF) 于2013-07-31).
Jackson, R. Novel Sensors and Sensing. Bristol: Institute of Physics Pub. 2004: 28. ISBN 0-7503-0989-X .
Benjamin Crowell. Vibrations and Waves . Light and Matter online text series. 2006 [2012-04-03 ] . (原始内容存档 于2011-04-08). , Ch.2
William McC. Siebert. Circuits, Signals, and Systems. MIT Press.
存档副本 . [2012-04-02 ] . (原始内容存档 于2012-01-10).
存档副本 (PDF) . [2012-04-03 ] . (原始内容存档 (PDF) 于2020-11-25).