大约在公元前480年,古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根,但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右,欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。
7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得用使用代数方程的人,它同时容许有正负数的根。[b]
11世纪阿拉伯的花拉子米独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚(亦以拉丁文名字萨瓦索达著称)在他的著作Liber embadorum,首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。[c]
二次方程
的两个根为:
解方程后,我们会得到两个根:
和
。则点
和
就是二次函数与
轴的交点。根的类型如下:
- 设
為一元二次方程式的判別式,又記作D。
- 當
,则方程有两个不相等的根,也即与
轴有两个不重疊的交点,因为
是正数。
- 當
,则方程有两个相等的根,也即与
轴有一个切点,因为
是零。
- 當
,则方程没有實數根,也即与
轴没有交点,因为
是共軛複數。
设
和
,我们可以把
因式分解为
。
二次函数可以表示成以下三种形式:
称为一般形式或多项式形式。
称为因子形式或交点式,其中
和
是二次方程的两个根,
,
是抛物线与
轴的两个交点。
称为标准形式或顶点形式,
即為此二次函數的頂點。
把一般形式转换成因子形式时,我们需要用求根公式来算出两个根
和
,或是利用十字交乘法(適用於有理數)。把一般形式转换成标准形式时,我们需要用配方法。把因子形式转换成一般形式时,我们需要把两个因式相乘并展开。把因子形式轉換成標準形式有特殊的方法。
代表了二次函數的對稱軸,因此兩根的平均數即為
展開後比較後可得 ![{\displaystyle k=-a\left({\frac {|r_{1}-r_{2}|}{2}}\right)^{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f1c9cd1b9d0c6360bf9553fbf7d3f6294c08058)
不通過
和
求
及
公式:
![{\displaystyle h=-{\frac {b}{2a}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a36a77361ce8a83dc957d6a9d16025e3c35aac33)
(也作
)
而在三種形式中皆出現的
為此二次函數的領導係數,決定二次函數圖像開口的大小與方向。
![Thumb](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Function_ax%5E2.svg/320px-Function_ax%5E2.svg.png)
![Thumb](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/40/Function_x%5E2%2Bbx.svg/320px-Function_x%5E2%2Bbx.svg.png)
![Thumb](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Function_x%5E2-bx.svg/320px-Function_x%5E2-bx.svg.png)
- 系数
控制了二次函数从顶点的增长(或下降)速度,即二次函数开口方向和大小。
越大,开口越小,函数就增长得越快。
- 系数
和
控制了抛物线的对称轴(以及顶点的
坐标)。
- 系数
控制了抛物线穿过
轴时的倾斜度(导数)。
- 系数
控制了抛物线最低点或最高点的高度,它是抛物线与
轴的交点。
抛物线的顶点是它转弯的地方,也称为驻点。如果二次函数是标准形式,则顶点为
。用配方法,可以把一般形式
化为:
[2][3]
因此在一般形式中,抛物线的顶点是:
如果二次函数是因子形式
,则两个根的平均数
就是顶点的
坐标,因此顶点位于![{\displaystyle \left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}})\right)\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41ae67ece35b3d257df9db59d509524b4567a96a)
时,顶点也是最大值;
时,则是最小值。
经过顶点的竖直线
又称为抛物线的对称轴。
函数的最大值和最小值总是在驻点(又称临界点,稳定点)取得。以下的方法是用导数法来推导相同的事实,这种方法的好处是适用于更一般的函数。
设有函数
,寻找它的極值时,我们必须先求出它的导数:
然后,求出
的根:
因此,
是
的
值。现在,为了求出
,我们把
代入
:
所以,最大值或最小值的坐标为:
注:自变量
的取值范围为任何实数