一元二次方程

一元二次方程式是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的多项式方程。

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例如，${\displaystyle x^{2}-3x+2=2}$，${\displaystyle \left(3-2i\right)x^{2}+{\sqrt[{\pi }]{23-6i}}x-\sin 2=0}$，${\displaystyle t^{2}-3=0}$ 等都是一元二次方程。

一元二次方程式的一般形式是${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)}$

其中，${\displaystyle ax^{2}}$是二次项，${\displaystyle bx}$是一次项，${\displaystyle c}$是常数项。${\displaystyle a\neq 0}$是一个重要条件，否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。当然，在强调了是一元二次方程之后，${\displaystyle a\neq 0}$也可以省略不写。另外，一元二次方程式有時會出現複數根。

历史

古巴比伦留下的陶片显示，在大约公元前2000年（2000 BC）古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大約公元前480年，中國人已经使用配方法求得了二次方程的正根。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世紀印度的婆羅摩笈多（Brahmagupta）是第一位懂得用使用代數方程式且容許同時有正負根的數學家。

11世紀阿拉伯的花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。

据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是（引自婆什迦罗第二）：

在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍；在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方；然后在方程的两边同时开二次方根。

将其转化为数学语言：解关于${\displaystyle x}$的方程 ${\displaystyle ax^{2}+bx=-c}$

在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍，即^[1]${\displaystyle 4a}$，得　${\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac}$

在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方，即${\displaystyle b^{2}}$，得　${\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}}$

然后在方程的两边同时开二次方根，得　${\displaystyle 2ax+b=\pm {\sqrt[{2}]{-4ac+b^{2}}}}$

解法

阿贝尔指出，任意一元二次方程都可以根据${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$三个系数，通过初等代数运算来求解。求得的解也被称为方程的根。

一般来说，一元二次方程有两个根。

因式分解法

把一个关于 ${\displaystyle x}$ 一元二次方程变形成一般形式 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ 后，如果 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ 能够较简便地分解成两个一次因式的乘积，则一般用因式分解来解这个一元二次方程。

将方程左边分解成两个一次因式的乘积后（一般可用十字相乘法），分别令每一个因式等于零，可以得到两个一元一次方程。解这两个一元一次方程，得到的两个解都是原方程的解。

如果一元二次方程${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$存在两个实根${\displaystyle x_{1},x_{2}}$，那么它可以因式分解为${\displaystyle a(x-x_{1})(x-x_{2})=0}$。

例如，解一元二次方程${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$时，可将原方程左边分解成${\displaystyle \left(x-1\right)\left(x-2\right)=0}$，所以${\displaystyle x-1=0\quad x-2=0}$，可解得${\displaystyle x_{1}=1\quad x_{2}=2}$

公式解法

对于${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\ (a\neq 0)}$，若${\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}>0}$，则它的两个不等实数根可以表示为

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},\,x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}$；

若${\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}=0}$，则它的两个相等实数根可以表示为

${\displaystyle x_{1}=x_{2}={\frac {-b}{2a}}}$；

若${\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}<0}$，则它的两个共轭复数根可以表示为

${\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}},\,\,x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}}}$。

公式解的证明

公式解可以由配方法得出。

已知关于 ${\displaystyle x}$ 的一元二次方程 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\,\,a\neq 0}$

①移项，得：

${\displaystyle ax^{2}+bx=-c}$；

②二次项系数化为 ${\displaystyle 1}$，得：

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}}$；

③配方，得：

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\biggl (}{\frac {b}{2a}}{\biggl )}^{2}=-{\frac {c}{a}}+{\biggl (}{\frac {b}{2a}}{\biggl )}^{2}}$，

${\displaystyle {\biggl (}x+{\frac {b}{2a}}{\biggl )}^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$；

因为 ${\displaystyle a\neq 0}$，所以

若${\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}>0}$，则它的两个不等实数根可以表示为

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},\,x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}$；

若${\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}=0}$，则它的两个相等实数根可以表示为

${\displaystyle x_{1}=x_{2}={\frac {-b}{2a}}}$；

若${\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}<0}$，则它的两个共轭复数根可以表示为

${\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}},\,\,x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}}}$。

一般化

一元二次方程的求根公式在方程的係數为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。

公式中的根式${\displaystyle {\sqrt {b^{2}-4ac}}}$

應該理解為「如果存在的話，兩個自乘後為${\displaystyle b^{2}-4ac}$的數當中任何一個」。在某些数域中，有些数值没有平方根。

根的判别式

对于实系数一元二次方程${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)}$，${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}$称作一元二次方程根的判別式。根据判别式，一元二次方程的根有三种可能的情况：

• 如果${\displaystyle \Delta >0}$，则这个一元二次方程有两个不等的实数根。如果系数都为有理数，且${\displaystyle \Delta }$是一个完全平方数，则这两个根都是有理数，否则这两个根至少有一个是无理数。

• 如果${\displaystyle \Delta =0}$，则這个一元二次方程有两个相等的实数根。这两个等根 ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}}$

• 如果${\displaystyle \Delta <0}$，则这个一元二次方程有两个不等的复数根，两根互为共轭复数。这时两根分别为${\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}},\,\,x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}}}$，其中 ${\displaystyle {\text{i}}={\sqrt {-1}}}$。

非实系数一元二次方程

即系数为非实数时的一元二次方程，将系数扩展到复数域内，此时要注意根的判别式不适用于非实系数一元二次方程。

一元二次方程的根与系数的关系

根据韦达定理可以找出一元二次方程的根与系数的关系。$${\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}+{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {-2b}{2a}}=-{\frac {b}{a}}}$$$${\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\cdot {\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}={\frac {4ac}{4a^{2}}}={\frac {c}{a}}}$$

图像解法

${\displaystyle {\color {Red}{}\Delta >0}}$，则该函数与x轴相交（有两个交点）
${\displaystyle {\color {Blue}{}\Delta =0}}$，则该函数与x轴相切（有且仅有一个交点）
${\displaystyle {\color {Green}{}\Delta <0}}$，则该函数与x轴相离（没有交点）

一元二次方程${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$的根的几何意义是二次函数${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$的图像（为一条抛物线）与 ${\displaystyle x}$ 轴交点的坐标，即二次函数的零点。

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$的解是${\displaystyle y=x^{2}}$和${\displaystyle y=-{\begin{matrix}{\frac {b}{a}}x\end{matrix}}-{\begin{matrix}{\frac {c}{a}}\end{matrix}}}$交點的X座標

另外一种解法是把一元二次方程${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$化为${\displaystyle x^{2}=-{\frac {b}{a}}x-{\frac {c}{a}}}$ 的形式。

则方程${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$的根，就是函数${\displaystyle y=x^{2}}$和${\displaystyle y=-{\frac {b}{a}}x-{\frac {c}{a}}}$交点的横坐标。

通过作图，可以得到一元二次方程根的近似值。

计算机法

在使用计算机解一元二次方程时，跟人手工计算相似，大部分情况下也是根据以下公式去解$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}$$可以进行符号运算的程序，比如Mathematica，可以给出准确的解析表达式。而大部分程序则只会给出数值解。(但亦有部分显示平方根及虚数)

参见

• 方程
• 三次方程
• 和平方
• 差平方
• 平方差
• 配方法

参考资料

1. Sridhara. www-gap.dcs.st-and.ac.uk. 2006-02-08 [2024-07-02]. （原始内容存档于2006-02-08） （英语）.

外部連結

• 101 uses of a quadratic equation: Part I （页面存档备份，存于互联网档案馆），Part II （页面存档备份，存于互联网档案馆）