一定数目的点或圆在等距離的排列下可以形成一个等邊三角形,這樣的數被稱為三角形數 。比如10個點可以組成一个等邊三角形 ,因此10是一個三角形數:
三角形數
頭30個三角形數是1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 , 28 , 36 , 45 , 55 , 66 , 78 , 91 , 105 , 120 , 136 , 153 , 171 , 190 , 210 , 231 , 253 , 276 , 300 , 325 , 351, 378, 406, 435, 465, ...(OEIS 數列A000217 )。
三角数的二倍的平方根取整,是这个三角数的序数。
第n个三角形數的公式是
n
(
n
+
1
)
2
{\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}
。
第n个三角形數是從1开始的n个自然数的和 。
所有大于3的三角形數都不是质数 。
除了0,1,3 ,21 ,55 以外,三角形數不可能是費波那契數 。 [來源請求]
开始的n个立方数 的和是第n个三角形數的平方 (举例:1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 102 )
所有三角形數的倒数 之和是2。
任何三角形數乘以8再加1是一个平方数 。
三角數的個位數字不可能是2、4、7、9,數字根 不可能是2、4、5、7、8。
一部分三角形數(3、10、21、36、55、78……)可以用以下这个公式 来表示:
n
∗
(
2
n
+
1
)
{\displaystyle n*(2n+1)}
;而剩下的另一部分(1、6、15、28、45、66……)则可以用
n
∗
(
2
n
−
1
)
{\displaystyle n*(2n-1)}
来表示。
一种检验正整数 x 是否三角形数的方法,是计算 :
n
=
8
x
+
1
−
1
2
.
{\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}.}
如果n 是整数 ,那么x 就是第n 个三角形数 。如果n 不是整数 ,那么x 不是三角形数。这个检验法是基于恒等式
8
T
n
+
1
=
S
2
n
+
1
.
{\displaystyle 8T_{n}+1=S_{2n+1}.}
55、5,050、500,500、50,005,000……都是三角形數。
第11个三角形數(66)、第1111个三角形數(617,716)、第111,111个三角形數(6,172,882,716)、第11,111,111个三角形數(61,728,399,382,716)都是回文 式的三角形數,但第111个、第11,111个和第1,111,111个三角形數不是。
同時為三角形數及普洛尼克數 的數(不定方程
x
(
x
+
1
)
=
y
(
y
+
1
)
2
{\displaystyle x(x+1)={\frac {y(y+1)}{2}}}
):最小的幾個為0 , 6 , 210 , 7140, 242556, 8239770,……[ 1] [ 2] ,對應的
x
{\displaystyle x}
值分別為0 , 2, 14 , 84 , 492 , 2870,……(OEIS 數列A053141 ),對應的
y
{\displaystyle y}
值分別為0, 3 , 20 , 119 , 696, 4059,……(OEIS 數列A001652 )。