0.999...

0.999...，準確嘅寫法係0.9或${\displaystyle 0.{\dot {9}}}$，有啲地區會寫做 0.(9)，係指小數點後有無限咁多個「9」，一路循環落去，喺數學入面嘅標準實數可以嚴謹證明佢係等於1，亦即係話，「0.999...」唔係「差唔多等於1」或者「非常接近但係又唔係真係1」，而係真正等於1，即係話「0.999...」同「1」係表示緊同一個數。呢個例子表明一個數嘅十進制表示並唔唯一。嚴格嘅數學證明需要用到數學分析。

無限循環小數

證明

豎式

減法

喺唔考慮郝氏數列情況下而直接用豎式：

1.00000…

−　0.99999…

0.00000…

得數係0.00000...，即係寫成0.0或${\displaystyle 0.{\dot {0}}}$，意思係0嘅無限循環。

∵　被減數同埋差都係無限循環小數，而且一直寫0，始終搵唔到最後一位寫1，若果半佬出現「1」就變成有限小數。

∴　1.000… － 0.999… ＝ 0.000… ＝ 0

∴　1 = 0.999…

因為0.999... 嘅「9」一直見唔到尾、所以噉嘅無限循環小數嘅小數點後位數係可列。由於運算結果冇「最後嘅1」，所以1同埋0.999... 之間冇差值。

除法

分數

1/3=0.333...

0.333*3=0.999...

1/3*3=3/3=1

∴0.999...=1

初等數學

設 ${\displaystyle a=0.999\ldots }$，就有 ${\displaystyle 10a=9.999\ldots }$，兩式相減得到 ${\displaystyle 10a-a=9.999\ldots -0.999\ldots }$，即 ${\displaystyle 9a=9}$，所以 ${\displaystyle 0.999\ldots =a=1}$

極限

從循環小數嘅循環節號嘅嚴格定義嚟講，0.9 = ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\sum _{n=1}^{k}{9 \over 10^{n}}}$ 即 0.99999... 嘅極限，係個無限項嘅等比級數，套用公式可得到個值等於 1。

睇埋

• 循環小數
• 極限