郝氏數列

郝氏數列（Cauchy Sequence）係一種數列，係數學分析入面係一個基礎而重要嘅概念。呢個概念可以引伸到拓樸學，同完備性。

定義

假設有一條實數列${\displaystyle (x_{n})}$。

畀任何一個${\displaystyle \varepsilon >0}$，如果有一個自然數${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$，令到數列${\displaystyle (x_{n})}$入面嘅第${\displaystyle n,m>N}$項符合，${\displaystyle |x_{n}-x_{m}|<\varepsilon }$。

咁呢條實數列${\displaystyle (x_{n})}$就係郝氏數列。

概念

畀咗一個${\displaystyle \varepsilon >0}$，同時假設有一條數例，${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots )}$。

計每一個項減走之前嗰一個項，${\displaystyle x_{2}-x_{1},x_{3}-x_{2},\cdots }$，當計到第一次發現${\displaystyle |x_{n}-x_{m}|<\varepsilon }$。

假設嗰兩項做${\displaystyle m}$同${\displaystyle n}$，而${\displaystyle n,m>N}$。咁佢就係一條郝氏數列。

例子

假設${\displaystyle X=(2,2,2,2,2,2,2,\cdots )}$，咁${\displaystyle |2-2|=0<\varepsilon }$。

因此，由第一項就符合呢個條件，佢就係一條郝氏數列。

郝氏要求

郝氏要求（Cauchy Convergence Criterion）係郝氏數列其中一個性質。佢指明任務一條趨向一點嘅數例都係一條郝氏數列，反之亦然。

性質一

假設實數列${\displaystyle (x_{n})}$係趨向一點，咁${\displaystyle (x_{n})}$就係郝氏數列。

證明：

假設實數列${\displaystyle (x_{n})}$係趨向一點${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$，姐係

畀任何一個${\displaystyle \varepsilon >0}$，佢都會有一個數${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$，令到第${\displaystyle n>N}$項符合${\displaystyle |x_{n}-x|<{\frac {\varepsilon }{2}}}$。

將${\displaystyle m>n}$，咁樣${\displaystyle m>n>N}$都會符合${\displaystyle |x_{m}-x|<{\frac {\varepsilon }{2}}}$。

利用三角形不等式，得知

${\displaystyle {\begin{aligned}|x_{m}-x_{n}|&=|x_{m}-x_{n}-x+x|\\&\leq |x_{m}-x|+|x_{n}-x|\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon \end{aligned}}}$

因此，佢係郝氏數列。

性質二

任何一條郝氏數列都係被綁定。

證明：

假設實數列${\displaystyle (x_{n})}$係郝氏數列，將${\displaystyle \varepsilon$ :=1} ，根據定義，

佢都會有一個數${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$，令到第${\displaystyle n\geq N}$項符合${\displaystyle |x_{n}-x_{N}|<1}$。

利用三角形不等式，得知

${\displaystyle {\begin{aligned}|x_{n}-x_{N}|&<1\\|x_{n}|+|x_{N}|&<1\\|x_{n}|&<1+|x_{N}|\end{aligned}}}$

定義${\displaystyle M:=\sup\{|x_{1}|,|x_{2}|,|x_{3}|,\cdot ,|x_{N-1}|,|x_{N}|+1\}}$，咁樣對應該任何既${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$，

${\displaystyle |x_{n}|\leq M}$。

郝氏要求

一條實數列係趨向一點${\displaystyle \iff }$（即係佢一定係）一條郝氏數列。

證明：

(${\displaystyle \Rightarrow }$) 利用性質一。

(${\displaystyle \Leftarrow }$) 利用性質二得知，所有郝氏數列都係被綁定。因此，可以利用保西奴-華實斯定理；

可以從郝氏實數列${\displaystyle (x_{n})}$中，得出一條子數列${\displaystyle (x_{n_{k}})}$，而且呢條子數列${\displaystyle (x_{n_{k}})}$趨向${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$呢點。

因為${\displaystyle (x_{n})}$係郝氏數列，利用定義得知，

畀任何一個${\displaystyle \varepsilon >0}$，都會有一個${\displaystyle n,m>N}$項符合，${\displaystyle |x_{n}-x_{m}|<{\frac {\varepsilon }{2}}}$。

因為${\displaystyle (x_{n_{k}})}$趨向${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$呢點，利用定義得知，

畀任何一個${\displaystyle \varepsilon >0}$，都會有一個${\displaystyle K>N}$項符合，${\displaystyle |x_{K}-x|<{\frac {\varepsilon }{2}}}$。

因為${\displaystyle K>N}$，所以同時符合郝氏數列，因此可以將${\displaystyle m=K}$，得出

${\displaystyle |x_{m}-x_{K}|<{\frac {\varepsilon }{2}}}$。

計算，

${\displaystyle {\begin{aligned}|x_{n}-x|&=|x_{n}-x+x_{K}-x_{K}|\\&\leq |x_{n}-x_{K}|+|x_{K}-x|\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon \end{aligned}}}$

因此佢係趨向${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$呢點。

睇埋

• 數列
• 極限
• 子數列
• 保西奴-華實斯定理