面 (幾何)

面（粵拼：min2*6），又叫平面（粵拼：ping4 min2），係幾何術語，即係代表一個空間入面嘅一個二維嘅範圍。

歐幾里得研究嘅幾何好大部份都係喺平面入面發生嘅幾何（即係所謂嘅平面幾何），包括咗平面上面嘅三角形、圓形、平行線同角度呀噉，平面有好多特別嘅性質，亦都可以被賦予唔同嘅結構，而順住呢啲性質同結構去推廣，可以得到好多好得意嘅幾何概念。例如，平面同直線類似，直線係某種意義下最短嘅線，而平面就係某種意義下面積最細嘅面，推廣呢個概念就會得到極小曲面，係一個而家都仲活躍嘅研究課題；又例如平面可以被賦予一個複結構（複平面），推廣呢個概念可以得到黎曼曲面，係複幾何同代數幾何嘅一個基礎物件。

另一個好自然去睇一個平面嘅角度就係擺佢入一個三維空間入面睇，咁平面就係一個餘一維嘅仿射子空間。

歐幾里得幾何

睇埋：歐幾里得幾何

喺歐幾里得幾何入面，一塊平面係一個二維嘅幾何物體，佢係平平地，冇任何曲率^{[註 1]}。平面有長有闊，但係冇厚度，理論上可以無限噉向四方八面伸展。用最普遍嘅笛卡兒坐標系統嚟睇，平面同直線嘅分別就係喺「要用幾多個數字先可以準確噉話畀人聽一個點嘅位置」（呢個同維度同坐標嘅概念有關）^[1]：

• 喺直線上面，用一個數字就夠，例如 ${\displaystyle (x)}$，所以係一維（1D）；
• 喺平面上面，就要用兩個數字先得，例如 ${\displaystyle (x,y)}$，所以係二維（2D）。

睇下面呢幅圖，有三塊互相平行嘅平面（想像佢哋全部都係薄到冇厚度嘅）：

歐幾里得研究嘅幾何大多數都係睇平面嘢，包括平面上面嘅三角形、圓形、平行線同角度等等。根據佢嘅研究，平面有幾個特別嘅性質^[2][3]：

• 隨便揀兩塊唔同嘅平面，佢哋一係平行，一係就會喺某條線度相交；
• 隨便揀一塊平面同一條線，條線可能同塊平面平行、可能喺某一點同平面相交，又或者可能喺塊平面上面；
• 如果有兩條唔同嘅線都同一塊平面成垂直（即係成 90°角），咁呢兩條線一定係平行嘅；
• 如果有兩塊平面都同一條線成垂直，咁呢兩塊平面一定係平行嘅。

線 同平面 成垂直。 線 ${\displaystyle \ell }$ 同平面 ${\displaystyle A}$ 成垂直。  線 同啲平面成垂直，啲平面彼此平行。 線 ${\displaystyle {\text{S}}}$ 同啲平面成垂直，啲平面彼此平行。

講到二維，就一定要提到角嘅概念：隨便揀一個點（好似下圖嘅 ${\displaystyle A}$），由嗰個點向兩個唔同方向（好似下圖嘅 ${\displaystyle C_{1}}$ 同 ${\displaystyle C_{3}}$）各自射一條直線出去，呢兩條線之間就會形成一個角（下圖嘅 ${\displaystyle \alpha _{2}}$）。角度就係形容呢個角「有幾大」嘅特性。喺實際嘅幾何分析裏面，我哋通常會用 ${\displaystyle \angle }$ 呢個符號嚟表示一個角，例如下圖嘅 ${\displaystyle \alpha _{2}}$ 會寫成 ${\displaystyle \angle C_{1}AC_{3}}$。我哋仲會用噉嘅表示法嚟講一個角有幾大，例如 ${\displaystyle \angle ABC=90}$ 就係話「${\displaystyle \angle ABC}$ 呢個角係 90° 咁大」，如此類推^[4]。

睇埋

由人類角度睇，一張檯望落大致係一塊平面。

• 點 (幾何)
• 線 (幾何)
• 體 (幾何)

註釋

1. 講得簡單啲，一條線嘅彎曲程度可以用「最啱貼住條線嘅圓形有幾大個直徑」嚟形容。如果係直線嘅話，個圓形直徑就會係無限大。

引咗

1. Szmielew, Wanda. From affine to Euclidean geometry: An axiomatic approach. Springer, (1983).
2. Hadwiger, H., Debrunner, H., & Klee, V. (2015). Combinatorial geometry in the plane. Courier Corporation.
3. Klee, V., & Wagon, S. (1991). Old and new unsolved problems in plane geometry and number theory (No. 11). Cambridge University Press.
4. Henderson, David W.; Taimina, Daina (2005), Experiencing Geometry / Euclidean and Non-Euclidean with History (3rd ed.), Pearson Prentice Hall, p. 104