拉普拉斯變換

拉普拉斯變換（簡稱拉氏變換），又叫拉普拉斯轉換（簡稱拉氏轉換），係應用數學入面一種積分變換，符號係 ${\displaystyle \displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}}$，由法國數學家拉普拉斯研究出。呢種變換有用之處係佢可以將一啲微分方程變成一啲相對簡單嘅代數方程，搵到代數方程嘅解之後就可以用拉普拉斯逆變換（${\displaystyle \displaystyle {\mathcal {L^{-1}}}\left\{F(s)\right\}}$）得到微分方程嘅解。如果除咗條微分方程之外，仲有一啲預設條件（例如搵緊嘅函數喺零點嘅值），可以搵到唯一解。

定義

假設有一個 ${\displaystyle t}$ （通常指時間）嘅函數 ${\displaystyle f(t)}$，佢嘅拉普拉斯變換 ${\displaystyle F(s)=\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}}$ 定義做：

${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt}$

喺呢度 ${\displaystyle t\in \mathbb {R} ,s\in \mathbb {C} }$。

雙邊拉普拉斯變換

積分上下界限可以推至無窮，構成無窮積分。噉樣就寫成雙邊拉普拉斯變換：

${\displaystyle {\mathcal {B}}\left\{f(t)\right\}=F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$

隻積分收斂若且唯若以下兩隻積分

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt,\quad \int _{-\infty }^{0}e^{-st}f(t)\,dt}$

都存在。

戥其他變換嘅關係

戥傅利耶變換嘅關係

拉普拉斯變換嘅變數係${\displaystyle s=\sigma +i\omega }$，所以經典嘅連續傅利耶變換可以睇作係雙邊拉普拉斯變換喺${\displaystyle \sigma =0}$、即${\displaystyle s=i\omega }$ 抑係話 ${\displaystyle s=2\pi fi}$嗰陣嘅特例。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&={\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}\\[1em]&={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}|_{s=i\omega }=F(s)|_{s=i\omega }\\[1em]&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}f(t)\,\mathrm {d} t.\\\end{aligned}}}$

喺複平面上，連續傅利耶變換對應拉普拉斯變換嘅虛軸。

反過嚟睇，拉普拉斯變換可以睇作係傅利耶變換帶指數加權${\displaystyle e^{-\sigma }}$嘅拓展情況。呢個指數加權會作用到個變換嘅收斂域上，令到一啲喺傅利耶變換當中唔收斂嘅結果可以收斂返。

戥Z變換嘅關係

Z變換表達式係：

${\displaystyle X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}}$

Z變換當中令${\displaystyle z=e^{sT}}$之後，就可以睇作係拉普拉斯變換加上採樣（採樣時間間隔${\displaystyle T}$）之後嘅結果：

${\displaystyle X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{z=e^{sT}}.}$

性質

以下係拉普拉斯變換啲性質：

拉普拉斯變換嘅特性

	時間定義域	s 嘅定義域	注意
線性特性	${\displaystyle af(t)+bg(t)\ }$	${\displaystyle aF(s)+bG(s)\ }$	可以用積分嘅公式計出嚟
頻率-定義域導數	${\displaystyle tf(t)\ }$	${\displaystyle -F'(s)\ }$	F′ 係 F 相對於 s 嘅初階導數。
頻率-定義域一般導數	${\displaystyle t^{n}f(t)\ }$	${\displaystyle (-1)^{n}F^{(n)}(s)\ }$	更加一般嘅形式，F(s) 嘅 n 階導數。
導數	${\displaystyle f'(t)\ }$	${\displaystyle sF(s)-f(0^{-})\ }$	呢度假設 f 係一個可導函數，而佢嘅導數假設係指數類型嘅函數。 用分部積分法就可以搵到結果。
二階導數	${\displaystyle f''(t)\ }$	${\textstyle s^{2}F(s)-sf(0^{-})-f'(0^{-})\ }$	呢度假設 f 係一個二次可導函數，而佢嘅二階導數假設係指數類型嘅函數。 再用 f′(t) 嘅微分特性搵到結果。
一般導數	${\displaystyle f^{(n)}(t)\ }$	${\displaystyle s^{n}F(s)-\sum _{k=1}^{n}s^{n-k}f^{(k-1)}(0^{-})\ }$	呢度假設 f 係一個 n次可導函數，而佢嘅 n 階導數假設係指數類型嘅函數。 再用數學歸納法搵到結果。
頻率-定義域積分	${\displaystyle {\frac {1}{t}}f(t)\ }$	${\displaystyle \int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma \ }$	呢個係由頻率微分嘅特性同埋條件收斂得出嚟嘅。
時間-定義域 積分	${\displaystyle \int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =(u*f)(t)}$	${\displaystyle {1 \over s}F(s)}$	u(t) 係單位階躍函數而 (u ∗ f)(t) 係 u(t) 同 f(t) 嘅摺積。
頻率轉移	${\displaystyle e^{at}f(t)\ }$	${\displaystyle F(s-a)\ }$
時間轉移	${\displaystyle f(t-a)u(t-a)\ }$	${\displaystyle e^{-as}F(s)\ }$	u(t) 係單位階躍函數
時間倍大／細	${\displaystyle f(at)}$	${\displaystyle {\frac {1}{a}}F\left({s \over a}\right)}$	${\displaystyle a>0\ }$
乘法	${\displaystyle f(t)g(t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}F(\sigma )G(s-\sigma )\,d\sigma \ }$	呢個積分係沿著 ${\displaystyle \Re (\sigma )=c}$ 呢條線積出嚟嘅，喺 F 嘅收斂空間裏面。[1]
摺積	${\displaystyle (f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }$	${\displaystyle F(s)\cdot G(s)\ }$
共軛複數	${\displaystyle f^{*}(t)}$	${\displaystyle F^{*}(s^{*})}$
互相關	${\displaystyle f(t)\star g(t)}$	${\displaystyle F^{*}(-s^{*})\cdot G(s)}$
週期函數	${\displaystyle f(t)}$	${\displaystyle {1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt}$	f(t) 係一個週期函數，佢嘅週期係 T 令到 f(t) = f(t + T) （${\displaystyle \forall t\geq 0}$）。 呢個係時間平移特性同幾何數列得到嘅結果。
備注： u(t) 係單位階躍函數。 δ 係狄拉克δ函數。 Γ(z) 係伽瑪函數。 γ 係歐拉-馬斯刻若尼常數。 t係一個實數，尤其係指時間，雖然佢可以代表任何獨立嘅維度。 s係複頻率嘅定義域參數，而 ${\displaystyle \Re (s)}$係佢嘅實數部分。 α、β、τ 同 ω都係實數。 n係一個整數。

• 初值定理：

${\displaystyle f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}}$，要求 ${\displaystyle {F(s)}}$ 係真分式，即分子最高次細過分母最高次，一唔係就使多項式除法分解唨${\displaystyle {F(s)}}$佢。

• 終值定理：

${\displaystyle f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}}$，要求 ${\displaystyle sF(s)}$ 啲所有極點都喺左半複平面抑或原點爲單極點。

常用變換表

常見函數式嘅拉普拉斯變換

	時間定義域	s 嘅定義域	注意
單位脈衝（狄拉克${\displaystyle \delta }$函數）	${\displaystyle \delta (t)\ }$	${\displaystyle 1}$
延誤脈衝	${\displaystyle \delta (t-\tau )\ }$	${\displaystyle e^{-\tau s}\ }$	單位脈衝嘅 時間轉移
單位階躍	${\displaystyle u(t)\ }$	${\displaystyle {1 \over s}}$	將單位脈衝積咗一次
延誤階躍	${\displaystyle u(t-\tau )\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{s}}e^{-\tau s}}$	單位階躍嘅時間轉移
斜坡函數	${\displaystyle t\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{s^{2}}}}$	將單位脈衝積咗兩次
n次方 （當n係整數）	${\displaystyle t^{n}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {n! \over s^{n+1}}}$	將單位脈衝積咗n次
q次方 （當q係複數）	${\displaystyle t^{q}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\Gamma (q+1) \over s^{q+1}}}$	[2][3]
n次方根	${\displaystyle {\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {1 \over s^{{\frac {1}{n}}+1}}\Gamma \left({\frac {1}{n}}+1\right)}$	當q = 1/n。
n次方夾埋頻率變換	${\displaystyle t^{n}e^{-\alpha t}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {n!}{(s+\alpha )^{n+1}}}}$	將單位階躍積咗佢， 再變頻
延誤咗嘅n次方 夾埋頻率變換	${\displaystyle (t-\tau )^{n}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )}$	${\displaystyle {\frac {n!\cdot e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}}$	將單位階躍積咗佢， 再做頻率同時間變換
指數遞減	${\displaystyle e^{-\alpha t}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {1 \over s+\alpha }}$	將單位階躍變頻
兩邊指數遞減 （只係適用喺兩邊拉普拉斯變換）	${\displaystyle e^{-\alpha |t|}\ }$	${\displaystyle {2\alpha \over \alpha ^{2}-s^{2}}}$	都係將單位階躍變頻
指數式趨近	${\displaystyle (1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}}$	將單位階躍減走指數遞減
正弦	${\displaystyle \sin(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}}$
餘弦	${\displaystyle \cos(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s \over s^{2}+\omega ^{2}}}$
雙曲正弦	${\displaystyle \sinh(\alpha t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}}$
雙曲餘弦	${\displaystyle \cosh(\alpha t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s \over s^{2}-\alpha ^{2}}}$
指數遞減 正弦波	${\displaystyle e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}$
指數遞減 餘弦波	${\displaystyle e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}$
自然對數	${\displaystyle \ln(t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle -{1 \over s}\,\left[\ln(s)+\gamma \right]}$
第一類貝塞爾函數，n階	${\displaystyle J_{n}(\omega t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {\left({\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}-s\right)^{n}}{\omega ^{n}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}}}$
誤差函數	${\displaystyle \operatorname {erf} (t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{s}}e^{(1/4)s^{2}}\left(1-\operatorname {erf} {\frac {s}{2}}\right)}$
備注： u(t) 係單位階躍函數。 δ 係狄拉克δ函數。 Γ(z) 係伽瑪函數。 γ 係歐拉-馬斯刻若尼常數。 t係一個實數，尤其係指時間，雖然佢可以代表任何獨立嘅維度。 s係複頻率嘅定義域參數，而 ${\displaystyle \Re (s)}$係佢嘅實數部分。 α、β、τ 同 ω都係實數。 n係一個整數。

實際例子

解微分方程 ${\displaystyle {\ddot {x}}-{\dot {x}}-2x=0}$，其中 ${\displaystyle x(t)}$ 係 ${\displaystyle t}$ 嘅一個連續函數，${\displaystyle x(0)=1}$，${\displaystyle {\dot {x}}(0)=0}$^[4]

${\displaystyle {\ddot {x}}-{\dot {x}}-2x=0}$

${\displaystyle \displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\ddot {x}}-{\dot {x}}-2x\right\}=\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{0\right\}}$

${\displaystyle s^{2}X(s)-sx(0)-{\dot {x}}(0)-[sX(s)-x(0)]-2X(s)=0}$

${\displaystyle s^{2}X(s)-s(1)-0-sX(s)+1-2X(s)=0}$

${\displaystyle (s^{2}-s-2)X(s)=s-1}$

${\displaystyle X(s)={\frac {s-1}{(s+1)(s-2)}}}$

搵到進行咗拉普拉斯變換嘅函數 ${\displaystyle X(s)}$，就要嘗試將佢變番做原本嘅函數 ${\displaystyle x(t)}$。但係，因為拉普拉斯變換表冇一個呢種樣嘅函數，所以首先要將佢拆開做兩個分數，當佢哋係 ${\displaystyle {\frac {a}{s-2}}}$ 同埋 ${\displaystyle {\frac {b}{s+1}}}$。

${\displaystyle X(s)}$

${\displaystyle ={\frac {s-1}{(s+1)(s-2)}}}$

${\displaystyle ={\frac {a}{s-2}}+{\frac {b}{s+1}}}$

${\displaystyle \therefore {\begin{cases}a+b=1\cdots (1)\\a-2b=-1\cdots (2)\end{cases}}}$

${\displaystyle (1)-(2):3b=2}$

${\displaystyle b={\frac {2}{3}}}$

將 ${\displaystyle b={\frac {2}{3}}}$ 塞入 ${\displaystyle (1)}$ 式：

${\displaystyle a+{\frac {2}{3}}=1}$

${\displaystyle a={\frac {1}{3}}}$

${\displaystyle \therefore X(s)={\frac {1}{3(s-2)}}+{\frac {2}{3(s+1)}}}$

依家睇番個表做拉普拉斯逆變換：

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{3}}e^{2t}+{\frac {2}{3}}e^{-t}}$

計完之後再檢查下，搞掂。

參考

1. Bracewell 2000, Table 14.1, p. 385
2. Lipschutz, S.; Spiegel, M. R.; Liu, J. (2009), Mathematical Handbook of Formulas and Tables, Schaum's Outline Series (第3版), McGraw-Hill, p. 183, ISBN 978-0-07-154855-7 – provides the case for real q.
3. http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html – Wolfram Mathword provides case for complex q
4. https://www.math.ust.hk/~machas/differential-equations.pdf - p.58