Elo 等級分

Elo 等級分制度（英文：Elo rating system，當中 Elo 好接近粵拼：ji1 lou4；假借漢字：伊勞）係一套評估一隻遊戲嘅玩家技術幾好嘅做法，適用於好似中國象棋同國際象棋等嘅零和遊戲^[1]。除咗呢啲棋類遊戲，廿一世紀初嘅電競都會用到伊勞等級分嚟衡量啲玩家嘅技術^[2]。

呢兩位棋手，邊個技術好啲呢？有冇方法可以計個數嚟反映呢樣嘢？

諗頭

睇埋：零和遊戲同技術遊戲

「要量度一個個體嘅等級分，我諗就好似量度一嚿水松木嘅位置... 當中嚿水松木喺翻滾嘅水面郁上郁落，量度者用嘅架生係一條碼棍，條碼棍綁咗喺一條喺風中擺動嘅繩度。」^{[註 1][3]}

—伊勞等級系統嘅創始人阿柏特·伊勞^{[歐 1]}

首先，伊勞等級系統假設咗隻遊戲係零和^{[歐 2]}嘅：如果話一隻遊戲係零和，簡單講意思即係話場遊戲只有其中一位或者一隊玩家會贏，再唔係就打和，冇得話例如兩方玩家一齊贏^[4]。中國象棋、國際象棋、圍棋同埋多數嘅 PvP 視像遊戲（好似係畀玩家互射嘅射擊遊戲）都屬於零和遊戲。

齋靠日常觀察已知，玩家之間喺技術上可以有差異^{[註 2]}：有啲玩家無論同邊個對局，都有好大機率贏，而有啲玩家就無論同邊個對局，都大機率輸；好多人都想搵方法客觀噉量度玩家嘅技術有幾好，例如搞國際象棋比賽嘅組織就成日都想評估棋手嘅技術，伊勞就係其中一套最成功嘅系統；而用行話講，伊勞能夠達致等距噉量度技術呢樣嘢^[5]。

喺伊勞等級系統下，每位玩家都掕住個伊勞值^{[歐 3]}，而個系統會不斷噉^[6]:2.2：

• 基於兩位玩家而家呢刻嘅伊勞，預估賽果；
• 對局完咗之後，噏哋ap1 dei1每位玩家嘅伊勞，伊勞改變幅度取決於個結果有幾「出人意表」；
• 經歷咗好多次噏哋之後，每位玩家會到達佢嘅最後伊勞，呢個最終伊勞就會（唔完美噉）反映佢嘅實際技術水平。

以下落嚟講嘅數學細節，假設讀者學過基本嘅概率論同統計學，識機會率同平均值等嘅基本概念。

基本模型

睇埋：機會率、平均值同標準差

最基本嗰隻伊勞制度會用到嘅概念，可以用以下噉嘅方式數學化。

技術幾高

睇埋：常態分佈

已知一個事實：每位玩家嘅表現，梗會或多或少有啲飄忽；技術好嘅玩家可能有一日狀態唔好，搞到連輸幾場；而技術冇咁好嘅玩家，亦有可能咁啱撞正狀態大好而連贏幾場；噉即係話一位玩家嘅表現，可以簡化噉想像成一個常態分佈^{[歐 4]}；想像下圖入面嘅 X 軸係玩家嘅表現，而 Y 軸係每個表現值出現嘅機率，兩條線分別代表阿 A 同阿 B 兩位玩家^{[註 3]}，講平均表現（${\displaystyle \mu }$）嘅話，

• 阿 A 嘅平均表現係 76 分咁高，用日常用語講即係話佢表現通常會係 76 分或者接近 76 分，
• 阿 B 嘅平均表現係 52 分咁高，用日常用語講即係話佢表現通常會係 52 分或者接近 52 分，

兩者都有 12 分咁多嘅標準差（${\displaystyle \sigma }$）。如果阿 A 同阿 B 對局，阿 A 多數時候會贏（表現高過阿 B），但間中有可能會撞啱有日阿 A 狀態唔好同時阿 B 狀態大好，令到阿 B 嗰日嘅表現好啲。噉亦表示，要準確噉評估一位玩家嘅技術，一定要首先畀佢經過有返咁上下數量嘅對局^[1]:1.4。

一場對局

睇埋：Sigmoid 函數同邏輯迴歸

分析者可以靠住玩家嘅預估技術水平嚟預測一場對局嘅賽果。依家想像有兩位玩家，阿 ${\displaystyle i}$ 同阿 ${\displaystyle j}$ 兩個要鬥捉圍棋，設^[7]:2.1

• ${\displaystyle \theta _{i}}$ 做阿 ${\displaystyle i}$ 嘅表現，或者預估技術值；
• ${\displaystyle \theta _{j}}$ 做阿 ${\displaystyle j}$ 嘅表現，或者預估技術值；
• ${\displaystyle R_{ij}\in \{0,1\}}$ 做兩者對局嘅可能結果，當中 1 表示「阿 ${\displaystyle i}$ 贏」，而 0 表示「阿 ${\displaystyle j}$ 贏」；

阿 ${\displaystyle i}$ 贏嘅機率（${\displaystyle \Pr({\text{i wins}})}$）理應會受制於 ${\displaystyle (\theta _{i}-\theta _{j})}$ ^{[註 2]}。如果畫做圖，當中 Y 軸做 ${\displaystyle \Pr({\text{i wins}})}$ 而 X 軸做 ${\displaystyle (\theta _{i}-\theta _{j})}$，會得出好似以下噉嘅線：

當 ${\displaystyle (\theta _{i}-\theta _{j})=0}$（兩位玩家表現相約），${\displaystyle \Pr({\text{i wins}})=0.5}$（阿 ${\displaystyle i}$ 有 50% 機會贏）

當 ${\displaystyle (\theta _{i}-\theta _{j})}$ 係大嘅正數（阿 ${\displaystyle i}$ 表現高一截），${\displaystyle \Pr({\text{i wins}})\to 1}$（阿 ${\displaystyle i}$ 大機會贏）

當 ${\displaystyle (\theta _{i}-\theta _{j})}$ 係大嘅負數（阿 ${\displaystyle j}$ 表現高一截），${\displaystyle \Pr({\text{i wins}})\to 0}$（阿 ${\displaystyle j}$ 大機會贏）

呢啲嘢之間嘅關係，可以用以下噉嘅式嚟表達^[6]:(1)：

${\displaystyle E_{i}={\frac {1}{1+10^{(\theta _{j}-\theta _{i})/400}}}}$；${\displaystyle [1]}$

${\displaystyle E_{i}}$ 係指預想阿 ${\displaystyle i}$ 會攞到幾多分，反映緊 ${\displaystyle \Pr({\text{i wins}})}$ ^[8]。想像：

如果 ${\displaystyle \theta _{j}=\theta _{i}}$，${\displaystyle E_{i}=0.5}$

如果 ${\displaystyle \theta _{j}-\theta _{i}=200}$，${\displaystyle E_{i}\approx 0.24}$

如果 ${\displaystyle \theta _{j}-\theta _{i}=-200}$，${\displaystyle E_{i}\approx 0.76}$

... 如此類推。

噏哋伊勞

經歷一場對局之後，個系統就要按照對局結果，郁手噏哋ap1 dei1兩位玩家嘅伊勞值。設 ${\displaystyle {\text{Elo}}_{i,t}}$ 做阿 ${\displaystyle i}$ 喺時間點 ${\displaystyle t}$ 嘅伊勞值，並且設 ${\displaystyle [1]}$ 入面嘅 ${\displaystyle \theta _{i}={\text{Elo}}_{i,t}}$，每場對局之後，兩位玩家嘅新伊勞值可以用以下呢條式嚟計^[6]:(2)：

${\displaystyle {\text{Elo}}_{i,t+1}={\text{Elo}}_{i,t}+k(S_{i}-E_{i})}$；${\displaystyle [2]}$，當中

• ${\displaystyle {\text{Elo}}_{i,t+1}}$ 係阿 ${\displaystyle i}$ 跟住落嚟嘅伊勞值；
• ${\displaystyle E_{i}}$ 係基於兩位玩家先前嘅伊勞值做預測，得出嘅預估賽果；
• ${\displaystyle S_{i}}$ 係實際上嘅賽果，如果阿 ${\displaystyle i}$ 贏，${\displaystyle S_{i}=1}$，而如果阿 ${\displaystyle i}$ 輸，${\displaystyle S_{i}=0}$；
• ${\displaystyle k}$ 係一個參數，數值可以調節，反映伊勞值噏哋得有幾快，${\displaystyle k}$ 數值愈大，伊勞值噏哋得愈快。

而家有一大班玩家，將佢哋嘅伊勞值冚唪唥都設做 1,000，跟住落嚟會發生噉嘅事：

• 如果阿 ${\displaystyle i}$ 嘅伊勞明顯低過佢應有嘅值，噉佢會成日撞到伊勞相約但查實技術渣過佢嘅對手，${\displaystyle E_{i}}$ 接近 0.5，${\displaystyle S_{i}}$ 傾向係 1，佢嘅伊勞變化傾向會係明顯嘅正值；
• 如果阿 ${\displaystyle i}$ 嘅伊勞明顯高過佢應有嘅值，噉佢會成日撞到伊勞相約但查實技術勁過佢嘅對手，${\displaystyle E_{i}}$ 接近 0.5，${\displaystyle S_{i}}$ 傾向係 0，佢嘅伊勞變化傾向會係明顯嘅負值；
• 如果阿 ${\displaystyle i}$ 技術好勁而且到咗佢應有嘅伊勞，噉佢就會成日撞到伊勞同實際技術都低過佢嘅對手，${\displaystyle E_{i}}$ 接近 1，${\displaystyle S_{i}}$ 傾向係 1，佢打低對手嗰陣 ${\displaystyle (S_{i}-E_{i})}$ 傾向細，佢伊勞就唔會點郁；
• 如果阿 ${\displaystyle i}$ 技術好渣而且到咗佢應有嘅伊勞，噉佢就會成日撞到伊勞同實際技術都高過佢嘅對手，${\displaystyle E_{i}}$ 接近 0，${\displaystyle S_{i}}$ 傾向係 0，佢輸畀對手嗰陣 ${\displaystyle (S_{i}-E_{i})}$ 傾向細，佢伊勞就唔會點郁；

—噉即係話，將啲玩家嘅伊勞值冚唪唥設做 1,000 再畀佢哋玩好多場對局，各人就會慢慢噉趨向到達佢哋應有嘅伊勞值。最終嘅伊勞值會反映佢哋嘅實際技術。

各界應用

國際象棋

内文：國際象棋

喺廿一世紀初，伊勞係國際象棋上最常用嘅棋手評分方法。國際象棋聯會^{[歐 5]}等嘅國際象棋組織以及網上國際象棋遊戲，都係靠伊勞系統嚟評定啲棋手實力有幾高嘅，而事實上伊勞制度嘅創始人阿柏特·伊勞^{[歐 1]}都係一個熱愛國際象棋嘅人，仲去到國際象棋大師嘅水平^[9]。

一般嚟講，一個國際象棋組織會有套方案，講明「伊勞係咁多咁多分至咁多咁多分嘅棋手，可以配以呢個呢個稱號」噉，但唔同嘅國際象棋組織喺呢方面嘅做法都有啲唔同^[10]。以國際象棋聯會為例，根據 2023 年嘅國際象棋聯會準則，一位棋手嘅預設伊勞值係 1,000，佢喺國際象棋比賽同第啲棋手較量，官方紀錄就會按佢啲對手嘅伊勞以及對局嘅結果，調整呢位棋手嘅伊勞。如果一位棋手要得到國際象棋特級大師^{[歐 6]}嘅稱號，就需要達致起碼 2,500 咁高嘅伊勞值，而且佢打低嘅對手亦要有返咁上下伊勞先得^[11]。

電子競技

内文：電子競技

進階變種

睇埋：堅係技術

批評

簡史

睇埋

• 專家知識
• 心理測量
• 量度層次
• 進化演算法

註釋

1. 呢句粵文譯版嚟自英文譯句－"The measurement of the rating of an individual might well be compared with the measurement of the position of a cork bobbing up and down on the surface of agitated water with a yardstick tied to a rope and which is swaying in the wind."
2. 假設隻遊戲係技術遊戲
3. 姑且唔好諗計量單位係乜住。

歐詞

1. Arpad Elo
2. zero-sum
3. Elo
4. normal distribution
5. Fédération Internationale des Échecs，FIDE
6. Grandmaster，GM

文獻

• Berg, A. (2020). Statistical analysis of the elo rating system in chess (PDF). Chance, 33(3), 31-38.
• Hu, W., & Barradas, D. (2023, July). Work in Progress: A Glance at Social Media Self-Censorship in North America. In 2023 IEEE European Symposium on Security and Privacy Workshops (EuroS&PW) (pp. 609-618). IEEE，伊勞等級嘅做法可以用嚟量度一啲主觀嘅概念，例如依份研究就叫一班受試者做「呢兩句嘢，邊句比較唔適合貼上去社交媒體」做好多次，得出手上嗰啲句子最後嘅「伊勞值」作為量度「恰當度」嘅方法。
• Morrison, B. (2019). Comparing elo, glicko, irt, and bayesian irt statistical models for educational and gaming data (PDF). University of Arkansas.
• Pelánek, R. (2016). Applications of the Elo rating system in adaptive educational systems. Computers & Education, 98, 169-179.

參考資料

1. Elo, A. E. (1978). The Rating of Chessplayers, Past and Present (PDF) 2nd Ed. New York: Arco Pub.
2. Batchelder, W. H., & Bershad, N. J. (1979). The statistical analysis of a Thurstonian model for rating chess players. Journal of Mathematical Psychology, 19(1), 39-60.
3. Elo Rating System. Chess Terms.
4. Von Neumann, John; Oskar Morgenstern (2007). Theory of games and economic behavior (60th anniversary ed.). Princeton: Princeton University Press.
5. Berg, A. (2020). Statistical analysis of the elo rating system in chess (PDF). Chance, 33(3), 31-38.
6. Lehmann, R., & Wohlrabe, K. (2017). Who is the 'Journal Grand Master'? A new ranking based on the Elo rating system. Journal of Informetrics, 11(3), 800-809.
7. Pelánek, R. (2016). Applications of the Elo rating system in adaptive educational systems. Computers & Education, 98, 169-179.
8. Glickman, M. E., & Jones, A. C. (1999). Rating the chess rating system. Chance, 12(2), 21-28.
9. The Rating of Chess Players, Past and Present (First Edition 1978, Second Edition 1986), Arco.
10. Elo Rating System – Everything You Need to Know. Chess Klub.
11. FIDE HANDBOOK. Section B. 01.