卜瓦松方程式

卜瓦松方程式（法語：Équation de Poisson）是數學中一個常見於靜電學、機械工程和理論物理的偏微分方程式，因法國數學家、幾何學家及物理學家卜瓦松而得名的。^[1]

方程式的敘述

卜瓦松方程式為

${\displaystyle \Delta \varphi =f}$

在這裡${\displaystyle \Delta }$代表的是拉普拉斯算子，而${\displaystyle f}$和${\displaystyle \varphi }$可以是在流形上的實數或複數值的方程式。當流形屬於歐幾里得空間，而拉普拉斯算子通常表示為${\displaystyle {\nabla }^{2}}$，因此卜瓦松方程式通常寫成

${\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =f}$

在三維直角坐標系，可以寫成

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).}$

如果有${\displaystyle f(x,y,z)}$恆等於0，這個方程式就會變成一個齊次方程式，這個方程式稱作「拉普拉斯方程式」。

${\displaystyle \Delta \varphi =0.\!}$

卜瓦松方程式可以用格林函數來求解；如何利用格林函數來解卜瓦松方程式可以參考屏蔽卜瓦松方程式（英語：Screened Poisson equation）。現在也發展出很多種數值解，如鬆弛法（英語：relaxation method）（一種迭代法）。

數學表達

通常卜瓦松方程式表示為

${\displaystyle -\Delta \varphi =f}$

這裡${\displaystyle \Delta }$代表拉普拉斯算子，${\displaystyle f}$為已知函數，而${\displaystyle \varphi }$為未知函數。當${\displaystyle f=0}$ 時，這個方程式被稱為拉普拉斯方程式。

為了解卜瓦松方程式我們需要更多的資訊，比如狄利克雷邊界條件:

${\displaystyle {\begin{cases}-\Delta \varphi =f&{\text{in}}\ \Omega \\\varphi =g&{\text{auf}}\ \partial \Omega \end{cases}}}$

其中 ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ 為有界開集。

這種情況下利用基礎函數構建卜瓦松方程式的解，拉普拉斯方程式的基礎函數為:

${\displaystyle \Phi (x)={\begin{cases}-{\dfrac {1}{2\pi }}\ln |x|&n=2\\{\dfrac {1}{n(n-2)\omega _{n}}}{\dfrac {1}{|x|^{n-2}}}&n\geq 3\end{cases}}}$

其中${\displaystyle \omega _{n}}$為n維歐幾里得空間中單位球面的體積，此時可通過卷積${\displaystyle (\Phi *f)}$得到 ${\displaystyle -\Delta \varphi =f}$的解。

為了使方程式滿足上述邊界條件，我們使用格林函數

${\displaystyle G(x,y)=\Phi (y-x)-\phi ^{x}(y)}$

${\displaystyle \phi ^{x}}$ 為一個校正函數，它滿足

${\displaystyle {\begin{cases}\Delta \phi ^{x}=0&{\text{in}}\ \Omega \\\phi ^{x}=\Phi (y-x)&{\text{auf}}\ \partial \Omega \end{cases}}}$

通常情況下${\displaystyle \phi ^{x}}$是依賴於${\displaystyle \Omega }$。

通過 ${\displaystyle G(x,y)}$可以給出上述邊界條件的解

${\displaystyle u(x)=-\int _{\partial \Omega }g(y){\frac {\partial G}{\partial \nu }}(x,y)\mathrm {d} \sigma (y)+\int _{\Omega }f(y)G(x,y)\mathrm {d} y}$

其中${\displaystyle \sigma }$ 表示${\displaystyle \partial \Omega }$上的曲面測度。

此方程式的解也可通過變分法得到。

靜電學

在靜電學很容易遇到卜瓦松方程式。對於給定的f找出φ是一個很實際的問題，因為我們經常遇到給定電荷密度然後找出電位的問題。在國際單位制（SI）中：

${\displaystyle {\nabla }^{2}\Phi =-{\rho \over \epsilon _{0}}}$

此${\displaystyle \Phi \!}$代表電位（單位為伏特），${\displaystyle \rho \!}$是體電荷密度（單位為庫侖/立方公尺），而${\displaystyle \epsilon _{0}\!}$是真空電容率（單位為法拉/公尺）。

如果空間中有某區域沒有帶電粒子，則

${\displaystyle \rho =0,\,}$

此方程式就變成拉普拉斯方程式：

${\displaystyle {\nabla }^{2}\Phi =0.}$

高斯電荷分佈的電場

如果有一個三維球對稱的高斯分佈電荷密度 ${\displaystyle \rho (r)}$：

${\displaystyle \rho (r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})},}$

此處，Q代表總電荷

此卜瓦松方程式：${\displaystyle {\nabla }^{2}\Phi =-{\rho \over \epsilon _{0}}}$ 的解Φ(r)則為

${\displaystyle \Phi (r)={1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{\frac {Q}{r}}\,{\mbox{erf}}\left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)}$

erf(x)代表的是誤差函數.

注意：如果r遠大於σ，erf(x)趨近於1，而電場Φ(r)趨近點電荷電場 ${\displaystyle {1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{Q \over r}}$；正如我們所預期的。

參閱

• 離散卜瓦松方程式（英語：Discrete Poisson equation）
• 卜瓦松-波茲曼方程式
• 卜瓦松方程式的唯一定理（英語：Uniqueness theorem for Poisson's equation）

參考文獻

引用

1. Jackson, Julia A.; Mehl, James P.; Neuendorf, Klaus K. E. (編), Glossary of Geology, American Geological Institute, Springer: 503, 2005 [2015-05-30], ISBN 9780922152766, （原始內容存檔於2020-11-20）.

來源

• Poisson Equation （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9.

外部連結

• Hazewinkel, Michiel (編), Poisson equation, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• Poisson's equation （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） on PlanetMath.