達布變換

達布變換（Darboux Transformation）是1882年法國數學家達布發現的一種求偏微分方程精確顯式解的變換法。達布變換在求KdV方程,MKdV方程，高維AKNS系統，sine-Gordon方程，sinh-Gordon方程，高階Broer Kaup系統的精確解方面，有廣泛用途。

1882年，達布研究一維薛丁格方程的特徵值問題：^[1]

${\displaystyle -\partial _{x}^{2}\phi -u(x)\phi =\lambda \phi }$

他發現作一個變換：

${\displaystyle (u,\phi )\to (u',\phi ')}$

其中

${\displaystyle u'=u+2\partial _{x}^{2}(ln(f))}$

${\displaystyle \phi '(x,\lambda )=\phi _{x}(x,\lambda )-{\frac {f_{x}}{f}}\phi (x,\lambda )}$

其中${\displaystyle f(x)=\phi (x,\lambda _{0})}$是${\displaystyle \lambda =\lambda _{0}}$時一維薛丁格方程的解，

則當 ${\displaystyle f\neq 0}$時，${\displaystyle u'}$和${\displaystyle \phi '}$必定滿足另一個相關的一維薛丁格方程：

${\displaystyle -\partial _{x}^{2}\phi '-u(x)\phi '=}$λ${\displaystyle \phi '}$

達布變換也稱為Bäcklund變換，其特點在於根據已知的一個解作為種子，經過變換之後，獲得完全可積的新方程組，由此得出另一個新的解。^[2]。

KdV方程的達布變換

1977年Wahlquist等學者發現^[3]，達布變換也適用於KdV方程，從而將薛丁格方程的達布變換推廣為KdV方程的達布變換^[4]

KdV方程：

${\displaystyle \partial _{t}\phi +\partial _{x}^{3}\phi +6\phi \partial _{x}\phi =0}$

是其LAX對的可積條件：

${\displaystyle -\partial _{x}^{2}\phi -u\phi =\lambda \phi }$

${\displaystyle \partial _{t}\phi =-4\partial _{x}^{3}\phi -6u\partial _{x}\phi -3\partial _{x}u\phi }$

經過達布變換(u,Φ)→(u',Φ')得到

${\displaystyle -\partial _{x}^{2}\phi '-u'\phi =\lambda \phi '}$

${\displaystyle \partial _{t}\phi '=-4\partial _{x}^{3}\phi '-6u'\partial _{x}\phi '-3\partial _{x}u'\phi '}$

因此，只要從LAX對求得一個解${\displaystyle \phi }$，然後通過達布變換(u,Φ)→(u',Φ')就可以得到KdV方程的新解，還可以不斷進行連鎖式達布變換(u,Φ)→(u',Φ')→(u,Φ)→(u,Φ)……以得到KdV方程大量的解。<ref谷超豪《孤立子理論中的達布變換及其幾何應用》2-3頁上海科學技術出版社</ref>

矩陣形式

幾何應用

負常曲率曲面

負常曲率曲面

十九世紀八十年代發現一個負常曲率曲面是Sine-Gordon方程一個非零解，又發現通過Bäcklund變換可以從一個負常曲率曲面得到另一個負常曲率曲面^[5]。

偽球線匯

自對偶楊-米爾斯流

參考文獻

1. 谷超豪《孤立子理論中的達布變換及其幾何應用》1-2頁，上海科學技術出版社
2. 閻振亞《複雜非線性波的構造性理論及其應用》7頁，科學出版社，2007年
3. Wahlquist et al, Bäcklund transformation for solitons of the Kortweg-de Vries Equation, Phys Rev Lett 1973,31:1386
4. 谷超豪《孤立子理論中的達布變換及其幾何應用》2-4頁上海科學技術出版社
5. 谷超豪《孤立子理論中的達布變換及其幾何應用》160頁上海科學技術出版社