極小曲面

極小曲面（英語：Minimal surface）在數學中是指平均曲率為零的曲面，即滿足某些約束條件的面積極小的曲面^{[註 1]}；在物理學中是指由最小化面積而得到的極小曲面的實例可以是沾了肥皂液後吹出的肥皂泡。^{[註 2]}

Verrill極小曲面

極小曲面

例子

極小曲面的經典例子包括：

• 歐幾里得平面，無特別約束條件下最平常的極小曲面；
• 懸鏈曲面：由懸鏈線圍繞其水平準線旋轉而得到的曲面。這是最早發現的「不尋常」的極小曲面。懸鏈曲面狀的皂液膜可以由將兩個等大的圓環緊貼放入肥皂水中，拿出後再緩慢分開得到；
• 螺旋曲面：一個線段沿著垂直於其中點的直線勻速螺旋上升時掃過的曲面。這是繼懸鏈曲面後發現的第二種不尋常的極小曲面；
• 恩內佩爾曲面。

定義

給定一個嵌入曲面，或更一般的，一個浸入曲面（其邊界一般固定，但不一定有界），定義其平均曲率如下：

令 ${\displaystyle p}$ 是曲面 ${\displaystyle S}$ 上一點，考慮 ${\displaystyle S}$ 上過 ${\displaystyle p}$ 的所有曲線 ${\displaystyle C_{i}}$。每條這樣的 ${\displaystyle C_{i}}$ 在${\displaystyle p}$ 點有一個伴隨的曲率 ${\displaystyle K_{i}}$。在這些曲率 ${\displaystyle K_{i}}$ 中，至少有一個極大值 ${\displaystyle \kappa _{1}}$ 與極小值${\displaystyle \kappa _{2}}$，這兩個曲率 ${\displaystyle \kappa _{1},\kappa _{2}}$ 稱為 ${\displaystyle S}$ 的主曲率。

${\displaystyle p\in S}$ 的平均曲率是兩個主曲率的平均值^[1]，由歐拉公式其實也是所有曲率的平均值^[2]，故有此名。

${\displaystyle H={1 \over 2}(\kappa _{1}+\kappa _{2})\ .}$

而極小曲面是指每一點上的平均曲率都是0的曲面。這種曲面的研究始於有關滿足一定的約束條件（比如邊界固定或容納體積滿足一定條件）下表面積最小的曲面，因此被稱為「極小曲面」。實際上極小曲面所囊括的內涵比此類最小面積曲面更廣泛。極小曲面的定義還可以擴展到恆定平均曲率曲面，即曲面上由平均曲率等於某個常數的點組成的子曲面。當這個常數等於零的時候， 恆定平均曲率曲面就是極小曲面。 極小曲面是平均曲率流的臨界點。

與布朗過程的聯繫

極小曲面上的布朗過程可以用於某些極小曲面相關定理的概率證明^[3]。