有序對

在數學中，有序對是兩個對象的搜集，使得可以區分出其中一個是「第一個元素」而另一個是「第二個元素」（第一個元素和第二個元素也叫做左投影和右投影）。帶有第一個元素a和第二個元素b的有序對通常寫為(a, b)。

符號(a, b)也表示在實數軸上的開區間；在有歧義的場合可使用符號${\displaystyle \langle a,b\rangle }$。

一般性

設(a₁, b₁)和(a₂, b₂)是兩個有序對。則有序對的特徵或定義性質為：

${\displaystyle (a_{1},b_{1})=(a_{2},b_{2})\leftrightarrow (a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2})}$

有序對可以有其他有序對作為投影。所以有序對使得能夠遞歸定義有序n-元組（n項的列表）。例如，有序三元組 (a,b,c)可以定義為(a, (b,c))，一個對嵌入了另一個對。這種方法也反映在計算機程式語言中，就是從嵌套的有序對構造元素的列表。例如，列表 (1 2 3 4 5)變成了(1, (2, (3, (4, (5, {} )))))。Lisp程式語言使用這種列表作為基本資料結構。

有序對的概念對於定義笛卡爾積和關係是至關重要的。

有序對的集合論定義

諾伯特·維納在1914年提議了有序對的第一個集合論定義：

${\displaystyle (x,y)\equiv _{def}\{\{\{x\},\emptyset \},\{\{y\}\}\}}$

他注意到這個定義將允許《數學原理》中所有類型只透過集合便能表達。（在《數學原理》中，所有元數的關係都是原始概念。）

標準Kuratowski定義

在公理化集合論中，有序對(a,b)通常定義為庫拉托夫斯基對：

${\displaystyle (a,b)_{K}\equiv _{def}\{\{a\},\{a,b\}\}}$

陳述「x是有序對p的第一個元素」可以公式化為

${\displaystyle \forall \ Y\in p:x\in Y}$

而陳述「x是p的第二個元素」為

${\displaystyle (\exists \ Y\in p:x\in Y)\land (\forall \ Y_{1}\in p,\forall \ Y_{2}\in p:Y_{1}\neq Y_{2}\rightarrow (x\notin Y_{1}\lor x\notin Y_{2}))}$

注意這個定義對於有序對p = (x,x) = { {x}, {x,x} } = { {x}, {x} } = { {x} }仍是有效的；在這種情況下陳述(∀ Y₁ ∈ p, ∀ Y₂ ∈ p : Y₁ ≠ Y₂ → (x ∉ Y₁ ∨ x ∉ Y₂))顯然是真的，因為不會有Y₁ ≠ Y₂的情況。

變體定義

上述有序對的定義是「充足」的，在它滿足有序對必須有的特徵性質（也就是：如果(a,b)=(x,y)則a=x且b=y）的意義上，但也是任意性的，因為有很多其他定義也是不更加複雜並且也是充足的。例如下列可能的定義

1. (a,b)_reverse:= { {b}, {a,b} }
2. (a,b)_short:= { a, {a,b} }
3. (a, b)₀₁:= { {0,a}, {1,b} }

「逆」（reverse）對基本不使用，因為它比通用的Kuratowski對沒有明顯的優點（或缺點）。「短」（short）對有一個缺點，它的特徵性質的證明會比Kuratowski對的證明更加複雜（要使用正規公理）；此外，因為在集合論中數2有時定義為集合{ 0, 1 } = { {}, {0} }，這將意味著2是對 (0,0)_short。

證明有序對的特徵性質

Kuratowski對： 證明：(a,b)_K = (c,d)_K若且唯若a=c且b=d。

僅當：

如果a=b，則 (a,b)_K = {{a}, {a,a}} = { {a} }，且 (c,d)_K = {{c},{c,d}} = { {a} }。所以{c} = {a} = {c,d}，或c=d=a=b。

如果a≠b，則{{a}, {a,b}} = {{c},{c,d}}。

如果{c,d} = {a}，則c=d=a或{{c},{c,d}} = {{a}, {a,a}} = {{a}, {a}} = { {a} }。但這樣{{a}, {a, b}}就會等於{{a}}，繼而b = a，跟先前的假設矛盾。

如果{c} = {a,b}，則a=b=c，這矛盾於a≠b。所以{c} = {a}，即c=a，且{c,d} = {a,b}。

並且如果d=a，則{c,d} = {a,a} = {a}≠{a,b}。所以d=b。

所以同樣有a=c且b=d。

當：

反過來，如果a=c並且b=d，則顯然{{a},{a,b}} = {{c},{c,d}}。所以 (a,b)_K = (c,d)_K。

逆對： (a,b)_reverse = {{b},{a,b}} = {{b},{b,a}} = (b,a)_K。

如果 (a,b)_reverse = (c,d)_reverse，則 (b,a)_K = (d,c)_K。所以b=d且a=c。

反過來，如果a=c和b=d，則顯然{{b},{a,b}} = {{d},{c,d}}。所以 (a,b)_reverse = (c,d)_reverse。

Quine-Rosser定義

Rosser（1953年）^[1]擴展了蒯因的有序對定義。Quine-Rosser的定義要求自然數的先決定義。設${\displaystyle \mathbb {N} }$是自然數的集合，${\displaystyle x\setminus \mathbb {N} }$是${\displaystyle \mathbb {N} }$在${\displaystyle x}$內的相對差集，並定義：

${\displaystyle \varphi (x)=(x\setminus \mathbb {N} )\cup \{n+1:n\in (x\cap \mathbb {N} )\}}$

φ(x)包含在x中所有自然數的後繼，和x中的所有非數成員。特別是，φ(x)不包含數0，所以對於任何集合A和B，${\displaystyle \phi (A)\not =\{0\}\cup \phi (B)}$。

以下是有序對 (A,B)的定義：

${\displaystyle (A,B)=\{\varphi (a):a\in A\}\cup \{\varphi (b)\cup \{0\}:b\in B\}.}$

提取這個對中那些不包含0的所有元素，然後再還原${\displaystyle \varphi }$的作用，就得出了A。類似的，B可以通過提取這個對的包含0的所有元素來復原。

有序對的這個定義有個顯著的優點。在類型論和從類型論派生出的集合論如新基礎中，這個對與它的投影有相同的類型（所以術語叫做「類型齊平」有序對）。因此一個函數（定義為有序對的集合），有隻比序對的投影的類型高1的類型。對蒯因集合論中有序對的廣泛的討論請參見Holmes (1998)。^[2]

Morse定義

Morse（1965年）^[3]提出的Morse-Kelley集合論可以自由的使用真類。Morse定義有序對的方法，使得它的投影可以是真類或者集合。（Kuratowski定義不允許這樣）。它首先像Kuratowski的方式那樣，定義投影為集合的有序對。接著，他重定義對 (x,y)為

${\displaystyle (x,y)=(\{0\}\times s(x))\cup (\{1\}\times s(y))}$

這裡的笛卡爾積是指由Kuratowski對組成的集合並且

${\displaystyle s(x)=\{\emptyset \}\cup \{\{t\}|t\in x\}}$

這便允許了定義以真類為投影的有序對。

參考文獻

1. J. Barkley Rosser, 1953. Logic for Mathematicians. McGraw-Hill.
2. Holmes, Randall (1998) Elementary Set Theory with a Universal Set （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. Academia-Bruylant. The publisher has graciously consented to permit diffusion of this monograph via the web. Copyright is reserved.
3. Morse, Anthony P., 1965. A Theory of Sets. Academic Press

參見

• 笛卡兒積
• 二元關係