支撐集

支撐集（英語：support，簡稱支集），是一個數學概念，它是集合${\displaystyle X}$的一個子集，要求對給定的${\displaystyle X}$上定義的實值函數${\displaystyle f}$在這個子集上恰好非0。最常見的情形是，${\displaystyle X}$是一個拓撲空間，比如實數軸等等，而函數${\displaystyle f}$在此拓撲下連續。此時，${\displaystyle f}$的支撐集被定義為這樣一個閉集${\displaystyle C}$：${\displaystyle f}$在${\displaystyle X\backslash C}$中為${\displaystyle {0}}$，且不存在${\displaystyle C}$的真閉子集也滿足這個條件，即，${\displaystyle C}$是所有這樣的子集中最小的一個。拓撲意義上的支撐集是點集意義下支撐集的閉包。

特別地，在機率論中，一個機率分布是隨機變數的所有可能值組成的集合的閉包。

閉支撐

常見的情況出現為：${\displaystyle X}$是一個拓撲空間（例如實數軸或n維歐幾里得空間），並且${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$是連續的實值函數（或複值函數）。此時，${\displaystyle f}$的支撐在拓撲上定義為使得${\displaystyle f}$非零的${\displaystyle X}$子集的閉包^[1][2][3] ，即：

$${\displaystyle \operatorname {supp} (f):=\operatorname {cl} _{X}\left(\{x\in X\,:\,f(x)\neq 0\}\right)={\overline {f^{-1}\left(\{0\}^{c}\right)}}.}$$

由於閉集的交集也是閉集，所以${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$是集合論中所有包含${\displaystyle f}$支撐的閉集的交集。

例如，${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$定義如下：

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1-x^{2}&{\text{if }}|x|<1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1\end{cases}}}$$

${\displaystyle f}$的支撐是閉區間${\displaystyle [-1,1]}$，因為${\displaystyle f}$在開區間${\displaystyle (-1,1)}$非零，其閉包為${\displaystyle [-1,1]}$。

閉支撐的概念通常用於描述連續函數，但該定義對拓撲空間上的任意實值或複值函數都有意義，有些作者不要求 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$（或 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$不需要）連續。^[4]

緊支撐

如果某函數的支撐集是 ${\displaystyle X}$ 中的一個緊集，此函數被稱為是緊支撐於空間 ${\displaystyle X}$ 的。例如，若 ${\displaystyle X}$ 是實數軸，那麼所有在無窮遠處消失的函數都是緊支撐的。事實上，這是函數必須在有界集外為${\displaystyle 0}$的一個特例。在好的情形下，緊支撐的函數所構成的集合，在所有在無窮遠處消失的函數構成的集合中，是稠密集的，當然在給定的具體問題中，這一點可能需要相當的工作才能驗證。例如對於任何給定的 ${\displaystyle \epsilon >0}$，一個定義在實數軸 ${\displaystyle X}$ 上的函數 ${\displaystyle f}$ 在無窮遠處消失，可以粗略通過選取一個緊子集 ${\displaystyle C}$ 來描述：

${\displaystyle |f(x)-1_{C}(x)f(x)|<\epsilon }$

其中 ${\displaystyle 1_{C}(x)}$ 表示 ${\displaystyle C}$ 的指示函數。

注意，任何定義在緊空間上的函數都是緊支撐的。

當然也可以更一般地，將支撐集的概念推廣到分布，比如狄拉克函數：定義在直線上的 ${\displaystyle \delta (x)}$。此時，我們考慮一個測試函數 ${\displaystyle F}$，並且 ${\displaystyle F}$ 是光滑的，其支撐集不包括 ${\displaystyle 0}$。由於 ${\displaystyle \delta (F)}$ （即 ${\displaystyle \delta }$ 作用於 ${\displaystyle F}$）為 ${\displaystyle 0}$，所以我們說 ${\displaystyle \delta }$ 的支撐集為 ${\displaystyle \{0\}}$。注意實數軸上的測度（包括機率測度）都是分布的特殊情況，所以我們也可以定義一個測度支撐集。

奇支集

在傅立葉分析的研究中，一個分布的奇支集或奇異支集有非常重要的意義。 直觀地說，這個集合的元素都是所謂的奇異點，即使得這個分布不能局部地看作一個函數的點。

例如，單位階躍函數的傅立葉轉換，在忽略常數因子的情況下，可以被認為是${\displaystyle 1/x}$，但這在${\displaystyle x=0}$時是不成立的。所以很明顯地，${\displaystyle x=0}$是一個特殊的點，更準確地說，這個分布的傅立葉轉換的奇支集是${\displaystyle \{0\}}$，即對於一個支撐集包括${\displaystyle 0}$的測試函數而言，這個分布的作用效果不能表示為某個函數的作用。當然這個分布可以表示為一個柯西主值意義下的瑕積分。

對於多變量的分布，奇支集也可以更精確地被描述為波前集，從而可以利用數學分析來理解惠更斯原理。奇支集也可以用來研究分布理論中的特殊現象，如在試圖將分布'相乘'時候導致的問題（狄拉克函數的平方是不存在的，因為兩個相乘的分布的奇支集必須不相交）。

支撐族

支撐族是一個抽象的拓撲概念，昂利·嘉當在一個層中定義了這個概念。在將龐加萊對偶性推廣到非緊的流形上的時候，在對偶的一個方面上引入緊支撐的概念是自然的。

Bredon的書《Sheaf Theory》(第二版 1997)中給出了這些定義。${\displaystyle X}$的一組閉子集${\displaystyle \Phi }$是一個支撐族，如果它是下閉的並且它的有限並也是閉的。它的擴張是${\displaystyle \Phi }$的並。一個仿緊化(paracompactifying)的支撐族對於任何${\displaystyle Y\in \Phi }$，在子空間拓撲意義下是一個仿緊空間，並且存在一些${\displaystyle Z\in Pi}$是一個鄰域。如果${\displaystyle X}$是一個局部緊空間，並且是郝斯多夫空間，所有的緊子集組成的族滿足上的條件，那麼就是仿緊化的。

參考文獻

1. Folland, Gerald B. Real Analysis, 2nd ed.. New York: John Wiley. 1999: 132.
2. Hörmander, Lars. Linear Partial Differential Equations I, 2nd ed.. Berlin: Springer-Verlag. 1990: 14.
3. Pascucci, Andrea. PDE and Martingale Methods in Option Pricing. Bocconi & Springer Series. Berlin: Springer-Verlag. 2011: 678. ISBN 978-88-470-1780-1. doi:10.1007/978-88-470-1781-8.
4. Rudin, Walter. Real and Complex Analysis, 3rd ed.. New York: McGraw-Hill. 1987: 38.