描述一個非相對論性自由粒子的含時薛丁格方程式為[1]:331-336
;
其中,
是約化普朗克常數,
是粒子的波函數,
是粒子的位置,
是時間。
這薛丁格方程式有一個平面波解:
;
其中,
是波向量,
是角頻率。
代入薛丁格方程式,這兩個變數必須遵守關係式
。
由於粒子存在的機率等於1,波函數
必須歸一化,才能夠表達出正確的物理意義。對於一般的自由粒子而言,這不是問題。因為,自由粒子的波函數,在位置或動量方面,都是局部性的。在量子力學裏,一個自由粒子的動量與能量不必須擁有特定的值。自由粒子的波函數可以表示為很多平面波的量子疊加:
;
其中,積分區域
是
-空間。
為了方便計算,只思考一維空間,
;
其中,振幅
是量子疊加的係數函數。
逆反過來,係數函數表示為
;
其中,
是在時間
的波函數。
所以,知道在時間
的波函數
,通過傅立葉變換,可以推導出在任何時間的波函數
。
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