在向量微積分 中，弗勒內-塞雷公式 （Frenet–Serret 公式 ）用來描述歐幾里得空間 R 3 曲線 上的運動。更具體的說，弗勒內公式描述了曲線的切向，法向，副法方向 之間的關係。這一公式由法國數學家讓·弗雷德里克·弗勒內 （於1847年的博士論文中）和約瑟夫·阿爾弗雷德·塞雷 （於1851年）分別提出。
空間曲線的切向量 T ，法向量 N 和副法向量 B ；以及切向量和法向量張成的密切平面 。 單位切向量 T ，單位法向量 N ，單位副法向量 B ，被稱作 弗勒內標架 ，他們的具體定義如下：
T 是單位切向量 ，方向指向粒子運動的方向。N 是切向量 T 對弧長參數 的微分單位化得到的向量。B 是 T 和 N 的外積 。弗勒內公式如下：
d
T
d
s
=
κ
N
,
d
N
d
s
=
−
κ
T
+
τ
B
,
d
B
d
s
=
−
τ
N
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {d\mathbf {T} }{ds}}&=\kappa \mathbf {N} ,\\{\dfrac {d\mathbf {N} }{ds}}&=-\kappa \mathbf {T} +\tau \mathbf {B} ,\\{\dfrac {d\mathbf {B} }{ds}}&=-\tau \mathbf {N} ,\end{aligned}}}
其中d /ds 是對弧長的微分， κ 為曲線的曲率 ，τ 為曲線的撓率 。弗勒內公式描述了空間曲線曲率撓率的變化規律。
平面曲線上的亮點的切向量和法向量，以及標架在運動過程中的旋轉。 記r (t) 為歐式空間 R 3 曲線 ，表示粒子在時間 t 時刻的位置向量 。 弗勒內公式只適用於正則曲線，即速度 向量r ′(t)和加速度 向量r ′′(t)不為零的曲線。
記 s(t) 為 t 時刻粒子所在位置到曲線上某定點的弧長 ：
s
(
t
)
=
∫
0
t
‖
r
′
(
τ
)
‖
d
τ
.
{\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}\|\mathbf {r} '(\tau )\|d\tau .}
由於假設r ′ ≠ 0，因此可以將 t 表示為 s 的函數，因此可將曲線表示為弧長 s 的函數 r (s) = r (t (s ))。 s 通常也被稱為曲線的弧長參數。
對於由弧長參數定義的正則曲線 r (s )，弗勒內標架 (或弗勒內基底 )定義如下：
T
=
d
r
d
s
.
(
1
)
{\displaystyle \mathbf {T} ={d\mathbf {r} \over ds}.\qquad \qquad (1)}
N
=
d
T
d
s
‖
d
T
d
s
‖
.
(
2
)
{\displaystyle \mathbf {N} ={{\frac {d\mathbf {T} }{ds}} \over \left\|{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}\right\|}.\qquad \qquad (2)}
B
=
T
×
N
.
(
3
)
{\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} .\qquad \qquad (3)}
螺旋線 上弗勒內標架的運動。藍色的箭頭表示切向量，紅色的箭頭表示法向量，黑色的箭頭表示副法向量。由於
|
T
|
=
1
,
d
(
T
⋅
T
)
d
s
=
2
T
⋅
N
=
0
,
{\displaystyle |\mathbf {T} |=1,{\frac {d(\mathbf {T} \cdot \mathbf {T} )}{ds}}=2\mathbf {T} \cdot \mathbf {N} =0,}
N 與 T 垂直。 方程 (3) 說明 B 垂直於 T 和 N ，因此向量 T ，N ，B 互相垂直。
弗勒內公式如下：
d
T
d
s
=
κ
N
d
N
d
s
=
−
κ
T
+
τ
B
d
B
d
s
=
−
τ
N
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}&=&&\kappa \mathbf {N} &\\&&&&\\{\frac {d\mathbf {N} }{ds}}&=&-\kappa \mathbf {T} &&+\,\tau \mathbf {B} \\&&&&\\{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}&=&&-\tau \mathbf {N} &\end{matrix}}}
其中 κ 為曲線的曲率 ，τ 為曲線的撓率 。
弗勒內公式有時也被稱作弗勒內定理 ，並且可以寫做矩陣的形式：[ 1]
[
T
′
N
′
B
′
]
=
[
0
κ
0
−
κ
0
τ
0
−
τ
0
]
[
T
N
B
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {T'} \\\mathbf {N'} \\\mathbf {B'} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}
其中的矩陣是反對稱矩陣 。
對弧長s求導，可以看成是對切方向的協變導數。
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