平方差

提示：此條目的主題不是差平方。

平方差公式是數學公式的一種，屬於乘法公式、因式分解及恆等式，被普遍使用。平方差指一個平方數減去另一個平方數得來的乘法公式：

${\displaystyle a^{2}-b^{2}=\left(a+b\right)\left(a-b\right)}$

${\displaystyle (a+b)}$及${\displaystyle (a-b)}$的排列不是非常的重要，可隨意排放。

驗證

主驗證

平方差可利用因式分解及分配律來驗證：

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}-b^{2}&=a^{2}-0-b^{2}\\&=a^{2}-(ab-ba)-b^{2}\\&=a^{2}-ab+ba-b^{2}\\&=(a^{2}-ab)+(ba-b^{2})\\&=a(a-b)+b(a-b)\\&=(a-b)(a+b)\\\end{aligned}}}$

方格驗證

平方差能使用表格方式來驗證。

${\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}$

x)已知	${\displaystyle a}$	${\displaystyle +b}$
${\displaystyle a}$	${\displaystyle a^{2}}$	${\displaystyle +ab}$
${\displaystyle -b}$	${\displaystyle -ab}$	${\displaystyle -b^{2}}$

這樣可驗證出${\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}}$

幾何驗證

兩個正方形和兩個立方體之間差異的視覺證明

平方差可利用一個普通的平面圖表驗證出來。右圖中，是正方形${\displaystyle a^{2}}$減去正方形${\displaystyle b^{2}}$，那即是${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$。利用平方差，計算出陰影部分的面積就是${\displaystyle (a+b)(a-b)}$。

方法一

根據右圖，可先將陰影部分分割成三部分，分別為：

• ${\displaystyle b(a-b)\,\!}$
• ${\displaystyle (a-b)^{2}\,\!}$是灰正方
• ${\displaystyle b(a-b)\,\!}$

然後，將三部分加起：

${\displaystyle b(a-b)+(a-b)^{2}+b(a-b)\,\!}$

${\displaystyle =ab-b^{2}+a^{2}-2ab+b^{2}+ab-b^{2}\,\!}$

${\displaystyle =ab+ab-2ab-b^{2}+b^{2}+a^{2}-b^{2}\,\!}$

${\displaystyle =a^{2}-b^{2}\,\!}$

• 註：${\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}$運用了差平方。

方法二

與方法一差不多，先將陰影部分分割為兩部分，分別為：

• ${\displaystyle a(a-b)\,\!}$大長方
• ${\displaystyle b(a-b)\,\!}$小長方

然後，將兩部分加起：

${\displaystyle a(a-b)+b(a-b)\,\!}$

${\displaystyle =a^{2}-ab+ab-b^{2}\,\!}$

${\displaystyle =a^{2}-b^{2}\,\!}$

例子

例子一

${\displaystyle x^{2}-16\,\!}$

計算此公式，必須把兩個數項都轉為平方。並得：

${\displaystyle =x^{2}-4^{2}\,\!}$

${\displaystyle =(x-4)(x+4)\,\!}$

例子二

${\displaystyle 16m^{2}-81n^{2}\,\!}$

計算此公式，同樣地把兩個數項轉為平方。並得：

${\displaystyle =(4m)^{2}-(9n)^{2}\,\!}$

${\displaystyle =(4m-9n)(4m+9n)\,\!}$

例子三

${\displaystyle 4y^{2}-36z^{2}\,\!}$

計算此公式，雖${\displaystyle 4y^{2}}$及${\displaystyle 36z^{2}}$的開方分別是${\displaystyle 2y}$及${\displaystyle 6z}$，但最好的方法是先抽出公因子，並得：

${\displaystyle =4(y^{2}-9z^{2})\,\!}$

同樣地把兩個數項轉為平方，並得：

${\displaystyle =4\left[y^{2}-(3z)^{2}\right]\,\!}$

${\displaystyle =4(y-3z)(y+3z)\,\!}$

例子四

${\displaystyle {\frac {1}{x^{4}}}-{\frac {13}{x^{2}}}+36}$

首先，可將該兩個分數轉成正數，並得：

${\displaystyle =x^{-4}-13x^{-2}+36\,\!}$

${\displaystyle =(x^{-2})^{2}-13(x^{-2})+36\,\!}$

運用因式分解的方法得出：

${\displaystyle =x^{-2}\times x^{-2}-9(x^{-2})-4(x^{-2})+9\times 4}$

${\displaystyle =(x^{-2}-4)(x^{-2}-9)\,\!}$

然後，把所有可被開方的數目轉為平方數，並得到：

${\displaystyle =\left[(x^{-1})^{2}-2^{2}\right]\left[(x^{-1})^{2}-3^{2}\right]}$

運用平方差並得出：

${\displaystyle =(x^{-1}-2)(x^{-1}+2)(x^{-1}-3)(x^{-1}+3)\,\!}$

或

${\displaystyle =\left({\frac {1}{x}}-2\right)\left({\frac {1}{x}}+2\right)\left({\frac {1}{x}}-3\right)\left({\frac {1}{x}}+3\right)\,\!}$

運用

用平方差代替整數相乘

某些特別的整數相乘，能巧妙地使用平方差來計算，並可減省復雜的計算步驟。

例子一，兩個數項都分別是${\displaystyle 10^{n}}$的${\displaystyle +x}$及${\displaystyle -x}$：

• ${\displaystyle 10\times 10=(10-0)(10+0)=10^{2}-0^{2}=100-0=100}$
• ${\displaystyle 7\times 13=(10-3)(10+3)=10^{2}-3^{2}=100-9=91}$
• ${\displaystyle 95\times 105=(100-5)(100+5)=100^{2}-5^{2}=10,000-25=9,975}$
• ${\displaystyle 99,994\times 100,006=(100,000-6)(100,000+6)=100,000^{2}-6^{2}=10,000,000,000-36=9,999,999,964}$

例子二：第一個數項減去第2個數項，都是${\displaystyle 10^{n}}$：

• ${\displaystyle 14^{2}-4^{2}=(14+4)(14-4)=18\times 10=180\,\!}$
• ${\displaystyle 125^{2}-25^{2}=(125+25)(125-25)=150\times 100=15,000\,\!}$
• ${\displaystyle 1,750^{2}-750^{2}=(1,750+750)(1,750-750)=2,500\times 1,000=25,000,000\,\!}$
• ${\displaystyle 14,205^{2}-4,205^{2}=(14,205+4,205)(14,205-4,205)=18,410\times 10,000=184,100,000\,\!}$

例子三：運用分配律、平方差來計出以下很大而覆雜的數項：

• ${\displaystyle 3263\times 3264\times \left({\frac {3264}{3263}}-{\frac {3265}{3264}}\right)}$

下一步先運用分配律：

${\displaystyle =3263\times 3264\times {\frac {3264}{3263}}-3263\times 3264\times {\frac {3265}{3264}}}$

並把所有相同數項約簡，並得：

${\displaystyle =3264^{2}-3263\times 3265}$

運用平方差，並得：

${\displaystyle =3264^{2}-(3264-1)(3264+1)\,\!}$

${\displaystyle =3264^{2}-(3264^{2}-1^{2})\,\!}$

${\displaystyle =3264^{2}-3264^{2}+1\,\!}$

${\displaystyle =1\,\!}$

錯誤運用

很多人混淆了平方差、差平方，除了文字上外，不少人都錯誤計算。

${\displaystyle a^{2}-b^{2}=\left(a+b\right)\left(a-b\right)}$	Y
${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)^{2}\,\!}$	N

• 註：${\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}$ ，詳見差平方

數論性質

因為平方數除以4的餘數衹能是0或1，所以兩個整數的平方差模4餘0、1或3。另一方面，

${\displaystyle (k+1)^{2}-(k-1)^{2}=4k}$

說明模4餘0的數皆可寫成平方差，而

${\displaystyle (k+1)^{2}-k^{2}=2k+1}$

說明模4餘1或3的數（奇數）可以寫成平方差。^[1][2]

內部連結

• 乘法公式
• 因式分解
• 恆等式
• 乘法
• 平方
• 平方數

參考文獻

1. Sloane, N.J.A. (編). Sequence A042965. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
2. Sloane, N.J.A. (編). Sequence A139544. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

外部連結

• Factoring the Difference of Two Squares
• Difference between 2 squares